Considere uma placa de alumínio com as seguintes propriedades:
Densidade: rho=2707 rho =2707 rho=2707 kg / m^3, Calor específico: , Condutividade térmica: cp=0,896 cp=0,896 cp=0,896 kJ /(kg cdot ^circ C).
A placa possui uma espessura de 3 k=204 k=204 k=204 W /(m cdot ^circ C) e está inicialmente a uma temperatura uniforme de c m. Subitamente, ela é submetida a um fluxo uniforme de calor de 50^circ C uma de suas faces, enquanto a outra face está exposta a uma corrente de ar frio com temperatura de 7 5 0 0 W / m^2 em. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a corrente de ar e a face da placa é de 60 30^circ C.
Calcule o tempo necessário para que a placa atinja 95% da temperatura de equilíbrio.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma placa de alumínio (espessura L = 3 cm) que tá inicialmente a 50 °C. De um lado ela recebe um fluxo de calor constante de q″=7500 W/m² e do outro há convecção pra um ar a 30 °C com coeficiente h=60 W/(m²·°C).
Conteúdo: condução transiente em regime de “lumped capacitance” (modelo de corpo de temperatura uniforme).
O que vamos precisar:
  1. Calcular o número de Biot pra ver se podemos usar o modelo de temperatura uniforme.
  2. Montar o balanço de energia (ODE) no formato lumped.
  3. Encontrar a temperatura de equilíbrio e a constante de tempo τ.
  4. Resolver a ODE e achar o tempo pra chegar a 95% dessa temperatura de equilíbrio.

Passo 2

  1. Número de Biot
    O Biot é dado por
Bi=h,Lk
Substituindo:
Bi=60;W/m^2°Ctimes0,03;m204;W/(m·°C)approx0,0088
Como Bi≪0,1, a variação de temperatura dentro da chapa é desprezível e podemos tratar a placa como um corpo de temperatura uniforme (modelo lumped).

Passo 3

  1. Temperatura de equilíbrio
    No regime permanente, toda a energia que entra por fluxo q″ sai por convecção. Então:
q''=hl(Tinfty^,placa-Tinfty^,arr) Longrightarrow Tinfty^,placa = q''h + Tinfty^,ar
Tinfty^,placa = 750060+30 =125 +30 =155;^circC

Passo 4

  1. Constante de tempo τ
    A constante de tempo do modelo lumped é
tau = rho,L,cph
Com ρ=2707 kg/m³, cₚ=0,896 kJ/(kg·°C)=896 J/(kg·°C), L=0,03 m:
tau = 2707cdot896cdot0,0360 approx1,21times10^3;s

Passo 5

  1. Solução transiente e tempo pra 95%
    A solução do lumped dá
T(t) - Tinfty = l(T(0)-Tinftyr),e^-t/tau
Queremos T(t) alcançar 95% do caminho até T(t)-Tinfty=0,05l(T(0)-Tinftyr) Longrightarrow e^-t/tau=0,05 . Ou seja
t = -tauln(0,05)approx1,21times10^3times2,9957 approx3,64times10^3;s
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Resposta

O tempo necessário é cerca de 3,64×10³ s (aprox. 1,01 h).

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