Considere o campo F(x, y)=(b y+x) i+(a x+y) j e seja C uma curva fechada, simples, orientada positivamente. Determine a relação entre as constantes a e b de modo que integralC F cdot d r seja igual a área limitada pela curva C.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma relação entre as constantes a e b de modo que a integral de linha ointC Fcdot dvec r seja igual à área limitada pela curva C. O conteúdo envolvido é o Teorema de Green, que relaciona ointC P,dx+Q,dy com uma integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Green, identificamos as componentes do campo F:
P(x,y)=b,y+x e Q(x,y)=a,x+y.
Segundo Green, temos
ointC P,dx+Q,dy =integral duplainterior(C)gl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=a
e
partial Ppartial y=b.
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y=a-b

Passo 4

Para que a integral de linha seja igual à área da região, precisamos que o integrando valha 1 em toda parte, ou seja
a-b=1

Resposta

a-b=1

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