\int_{1 / 4}^{1 / 2}\left(\frac{e^{2 / x}+3}{x^{2}}\right) d x
]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1/4^1/2 e^2/x + 3x^2 ,dx
Isso envolve cálculo de antiderivadas e depois avaliação em limites. Vamos usar substituição para a parte com e^2/x e a regra de potência para a parte 3/x^2.

Passo 2

Primeiro separamos a integral em duas partes e resolvemos cada uma:
Para a parte integral dfrace^2/xx^2dx usamos a substituição
u=2x, du = -2x^2dx
Logo
integral e^2/xx^2dx = -tfrac12 integral e^u du = -tfrac12 e^u + C = -tfrac12 e^2/x + C
Para a parte integral 3x^2dx aplicamos a regra de potência integral x^n dx = x^n+1/(n+1):
integral 3x^2dx = 3integral x^-2dx = 3l(-x^-1r) + C = -3x + C

Passo 3

Somando as duas partes, uma primitiva geral é
F(x) = -tfrac12 e^2/x - 3x
Aqui a soma de constantes de integração fica num único +C, que cai na integral definida.

Passo 4

Agora avaliamos a antiderivada nos limites x=1/4 e x=1/2:
F(1/2) = -tfrac12 e^2/(1/2) - 31/2 = -tfrac12 e^4 - 6,
F(1/4) = -tfrac12 e^2/(1/4) - 31/4 = -tfrac12 e^8 - 12
Então o valor da integral é
F(1/2) - F(1/4) = l(-tfrac12 e^4 - 6r) - l(-tfrac12 e^8 - 12r) = tfrac12(e^8 - e^4) + 6

Resposta

e^8 - e^42 + 6

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