integral 3 x^2+2 x+3(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 3 x^2+2 x+3l(x^2+1r)^2,dx. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar manipular o numerador para separar a integral em partes mais simples e usar substituição.

Passo 2

Observe que podemos escrever o numerador como 3(x²+1)+2x. Dessa forma temos:
3 x^2+2 x+3(x^2+1)^2=3(x^2+1)+2x(x^2+1)^2=3x^2+1+2x(x^2+1)^2

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
integral 3x^2+1,dx+integral 2x(x^2+1)^2,dx
A primeira parte é direta: integral 3/(x^2+1),dx=3arctan x.

Passo 4

Para a segunda parte, fazemos a substituição u=x^2+1, logo du=2x,dx. Assim:
integral 2x(x^2+1)^2,dx=integral 1u^2,du=-1u=-1x^2+1

Passo 5

Somando os resultados das duas integrais, obtemos a primitiva completa.

Resposta

3arctan x - 1x^2+1 + C

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