Realizar a decomposição das funções racionais abaixo utilizando as técnicas de frações parciais:
G(s)=5 s-3s^2-2 s-3

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional G(s)=5s-3s^2-2s-3 usando frações parciais. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e decomposição em frações simples, e vamos precisar fatorar o denominador, montar a forma As-r1+Bs-r2 e resolver para os coeficientes.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador. Para achar as raízes de s^2-2s-3=0 resolvemos s^2-2s-3=0, obtendo as raízes s=3 e s=-1. Logo,
s^2-2s-3=(s-3)(s+1)

Passo 3

Como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador se fatora em raízes simples, escrevemos a decomposição
5s-3(s-3)(s+1)=As-3+Bs+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+1) para eliminar denominadores, temos
5s-3=A(s+1)+B(s-3)

Passo 5

Expandindo e agrupando termos semelhantes:
A(s+1)+B(s-3)=As+A+Bs-3B=(A+B)s+(A-3B)

Passo 6

Comparando com 5s-3 gera o sistema
A+B=5,A-3B=-3

Passo 7

Resolvendo esse sistema, de A+B=5 vem A=5-B. Substituindo em A-3B=-3, temos
(5-B)-3B=-3
5-4B=-3
-4B=-8
B=2
e então A=5-2=3.

Resposta

G(s)=3s-3+2s+1

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