(3,0) Considere o campo F(x, y, z)=lang<= x^2 sen z, y^2, x yrang<= e a superfície S dada pela parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 que está acima do plano x y, orientada para cima. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
integral duplaS rot F cdot d S

Passo 1

A questão pede para calcular integral duplaS rot F cdot dS usando o Teorema de Stokes. Estamos no conteúdo de cálculo vetorial, onde o Teorema de Stokes diz que essa integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da fronteira partial S, orientada de acordo com a regra da mão direita.

Passo 2

A fronteira partial S é a interseção do paraboloide z=1-x^2-y^2 com o plano z=0. Isso dá x^2+y^2=1. Como S está orientada para cima, a curva partial S deve ser percorrida no sentido anti-horário, vista de cima.

Passo 3

Parametrizamos partial S por r(t)=(cos t,;sin t,;0), com t variando de 0 a 2pi. Então r'(t)=(-sin t,;cos t,;0).

Passo 4

Na curva, z=0 faz com que o primeiro componente de F seja zero. Logo em partial S temos
F(r(t))=(0,sin^2 t,cos t,sin t).
O produto escalar F(r(t))cdotr'(t) é
sin^2 tcdotcos t. Assim a integral de linha é
integral0^2pi sin^2 tcos t,dt
Fazendo a substituição u=sin t, du=cos t,dt, e notando que u(0)=u(2pi)=0, obtemos
integral0^2pi sin^2 tcos t,dt=integral0^0 u^2,du=0

Passo 5

Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície vale o mesmo que essa integral de linha, ou seja, zero.

Resposta

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