Considere o campo
e a superfície
dada pela parte do paraboloide
que está acima do plano
, orientada para cima. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
Passo 1
A questão pede para calcular
usando o Teorema de Stokes. Estamos no conteúdo de cálculo vetorial, onde o Teorema de Stokes diz que essa integral de superfície do rotacional de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da fronteira
, orientada de acordo com a regra da mão direita.
Passo 2
A fronteira
é a interseção do paraboloide
com o plano
. Isso dá
. Como
está orientada para cima, a curva
deve ser percorrida no sentido anti-horário, vista de cima.
Passo 3
Parametrizamos
por
, com
variando de
a
. Então
.
Passo 4
Na curva,
faz com que o primeiro componente de
seja zero. Logo em
temos
.
O produto escalar é
. Assim a integral de linha é
O produto escalar
Fazendo a substituição
,
, e notando que
, obtemos
Passo 5
Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície vale o mesmo que essa integral de linha, ou seja, zero.
Resposta
0