Seja
e
Calcule os seis primeiros termos da sequência
e, em seguida, conjecture uma fórmula para
em função de
.
Sugestão: Use uma diferença de funções exponenciais.
Sugestão: Use uma diferença de funções exponenciais.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular os seis primeiros termos de uma sequência definida por
e
. O conteúdo é recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método da equação característica (diferença de funções exponenciais).
Passo 2
Para achar os termos, aplicamos a relação recursiva:
,
,
,
.
Passo 3
Montamos a equação característica associada à recorrência:
Resolvendo, temos
Passo 4
A solução geral da recorrência é
Precisamos determinar os coeficientes
Passo 5
Usando
obtemos
.
Usando obtemos
.
Resolvendo esse sistema, encontramos e
.
Usando
Resolvendo esse sistema, encontramos
Passo 6
Substituindo em
, obtemos
que podemos reescrever como