Seja a1=a2=5 e
an+1=an+6 an-1, forall n >= 2
Calcule os seis primeiros termos da sequência an e, em seguida, conjecture uma fórmula para an em função de n.
Sugestão: Use uma diferença de funções exponenciais.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular os seis primeiros termos de uma sequência definida por a1=a2=5 e an+1=an+6an-1. O conteúdo é recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método da equação característica (diferença de funções exponenciais).

Passo 2

Para achar os termos, aplicamos a relação recursiva:
a3=a2+6a1=5+6cdot5=35,
a4=a3+6a2=35+6cdot5=65,
a5=a4+6a3=65+6cdot35=275,
a6=a5+6a4=275+6cdot65=665.

Passo 3

Montamos a equação característica associada à recorrência:
r^2-r-6=0
Resolvendo, temos r=3 e r=-2.

Passo 4

A solução geral da recorrência é
an=A,3^,n-1+B,(-2)^,n-1
Precisamos determinar os coeficientes A e B usando as condições iniciais.

Passo 5

Usando n=1 obtemos A+B=5.
Usando n=2 obtemos 3A-2B=5.
Resolvendo esse sistema, encontramos A=3 e B=2.

Passo 6

Substituindo em an=A,3^n-1+B,(-2)^n-1, obtemos
an=3cdot3^,n-1+2cdot(-2)^,n-1
que podemos reescrever como an=3^n+2(-2)^n-1.

Resposta

an=3^n+2(-2)^n-1

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