Considere o campo F =(e^2, 2 yz, xe^2+y^2)
Verifique se o campo F é conservativo.

Passo 1

Temos o campo F=(e^2,,2yz,,x e^2 + y^2). O enunciado pede para verificar se ele é conservativo. Para isso vamos usar o teste do rotacional em R^3, já que o domínio é simplesmente conectado.

Passo 2

Lembrando que um campo vetorial F=(P,Q,R) é conservativo se e somente se seu rotacional for zero. O rotacional é dado por
nabla times F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. Temos
partial Rpartial y = partialpartial y(x e^2 + y^2) = 2y, partial Qpartial z = partialpartial z(2yz) = 2y,
partial Ppartial z = partialpartial z(e^2) = 0, partial Rpartial x = partialpartial x(x e^2 + y^2) = e^2,
partial Qpartial x = partialpartial x(2yz) = 0, partial Ppartial y = partialpartial y(e^2) = 0
Substituindo na expressão do rotacional, obtemos:
nabla times F = (2y - 2y,;0 - e^2,;0 - 0) = (0, -e^2, 0)

Passo 4

Como o rotacional não é o vetor nulo (fica (0,-e^2,0)), concluímos que F não é conservativo em R^3.

Resposta

O campo não é conservativo pois nabla times F = (0,-e^2,0) neq (0,0,0).

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