Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=18+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por y'+y^2sin t=0 com y(0)=18+1=19. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis, depois integrar e, por fim, aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação isolando y':
dydt = -y^2sin t
Em seguida, separamos as variáveis colocando tudo que envolve y de um lado e t do outro:
integral y^-2,dy = integral -sin t,dt

Passo 3

Agora calculamos cada integral. Do lado esquerdo temos:
integral y^-2,dy = -y^-1 + C1,
e do lado direito:
integral -sin t,dt = cos t + C2
Igualando e reunindo as constantes em uma só C, obtemos
-1y = cos t + C

Passo 4

Para determinar C, aplicamos a condição inicial y(0)=1/9. Quando t=0 e y=1/9:
-11/9 = -9 = cos(0) + C = 1 + C
Logo, C = -10. Substituindo de volta e isolando y, temos:
-1y = cos t - 10
Multiplicando por -1) e invertendo,
1y = 10 - cos t Longrightarrow y(t) = 110 - cos t

Resposta

y(t)=110-cos t

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