Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(8+1)-y, y(0)=8+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y' = (8+1)-y = 9 - y com y(0)=8+2=10. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y' + y = 9. Reconhecemos que o coeficiente de y é 1, então o fator integrante é mu(t)=e^integral 1,dt=e^t. Multiplicamos toda a equação por e^t para obter uma expressão que seja a derivada de um produto:
ddtl(y,e^tr)=9,e^t
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
$$
y,et=9,et+C
y,e^t=9,e^t+C
y=9+Ce^{-t}
$$
Usamos a condição inicial y para determinar y=9+Ce^-t : substituindo y(0)=10, temos C, logo t=0.

Resposta

y(t)=9+e^-t

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