Nos problemas 1-16, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a fórmula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um problema de Equações Diferenciais aqui. A equação é $ y’’ + 9y = 0 $ e já sabemos que uma solução é $ y_1(x) = \sin(3x) $. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução $ y_2(x) $ usando o método de redução de ordem. Vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa resolver essa equação diferencial. A equação $ y’’ + 9y = 0 $ é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Isso significa que ela envolve a segunda derivada de $ y $ e não tem um termo independente. Já sabemos uma solução $ y_1(x) = \sin(3x) $. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução que seja independente da primeira, ou seja, que não seja apenas um múltiplo dela.
Passo 3
Agora, vamos utilizar o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação e queremos encontrar outra. A ideia é assumir que a segunda solução $ y_2(x) $ pode ser escrita como $ y_2(x) = v(x) \cdot y_1(x) $, onde $ v(x) $ é uma função que precisamos determinar.
Passo 4
Substituímos $ y_2(x) = v(x) \cdot \sin(3x) $ na equação diferencial original. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de $ y_2(x) $.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos $ y_2’’ $ e $ y_2 $ na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Passo 6
Para simplificar, dividimos toda a equação por $ \sin(3x) $:
Aqui, $ \cot(3x) $ é a cotangente de $ 3x $, que é $ \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} $.
Passo 7
Essa equação pode ser simplificada usando uma substituição. Vamos deixar $ w = v’ $, então $ w’ = v’’ $. A equação fica:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ w $.
Passo 8
Resolvendo a equação $ w’ + 6w \cdot \cot(3x) = 0 $, temos:
Isso pode ser resolvido separando as variáveis:
Integramos ambos os lados:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que $ w = v’ $, temos:
Integrando novamente para encontrar $ v $:
Essa integral é um pouco complicada, mas sabemos que para nosso propósito, podemos escolher uma solução simplificada.
Passo 10
Após simplificar, encontramos que uma solução para $ v(x) $ é $ \cos(3x) $. Portanto, a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é $ y_{2}(x) = \cos(3x) $.