Considere o campo
(b) Se
for conservativo, calcule
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma função
tal que o gradiente dela seja igual ao campo vetorial dado:
Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de campos conservativos e gradientes. Pra resolver isso, vamos precisar entender como integrar cada componente do campo vetorial para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então:
Nosso objetivo é integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar
.
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
e surge porque a integração em relação a
trata
e
como constantes.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação parcial:
Substituindo
que encontramos:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a terceira equação parcial:
Substituindo
:
Comparando os dois lados:
onde
é uma constante.
Resposta
Assim, a função
que satisfaz
é:
onde
é uma constante qualquer.