Considere o campo
F=(e^z, 2 y z, x e^z+y^2)
(b) Se F for conservativo, calcule f(x, y, z) tal que nabla f=F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma função F = (e^z, 2 y z, x e^z + y^2) tal que o gradiente dela seja igual ao campo vetorial dado:
Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de campos conservativos e gradientes. Pra resolver isso, vamos precisar entender como integrar cada componente do campo vetorial para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se partial fpartial x = e^z, partial fpartial y = 2 y z, partial fpartial z = x e^z + y^2 , então:
Nosso objetivo é integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar .

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a partial fpartial x = e^z implies f(x, y, z) = e^z x + g(y, z) :
Aqui, é uma função que pode depender de e e surge porque a integração em relação a trata e como constantes.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação parcial:
partial fpartial y = 2 y z
Substituindo partialpartial y (e^z x + g(y, z)) = 2 y z implies partial gpartial y = 2 y z que encontramos:
g(y, z) = y^2 z + h(z)
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos usar a terceira equação parcial:
partial fpartial z = x e^z + y^2
Substituindo partialpartial z (e^z x + y^2 z + h(z)) = x e^z + y^2 + h'(z) = x e^z + y^2 :
h'(z) = 0 implies h(z) = C
Comparando os dois lados:
onde é uma constante.

Resposta

Assim, a função f(x, y, z) = e^z x + y^2 z + C que satisfaz é:
onde é uma constante qualquer.

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