Encontre o domínio da função (de Bessel de ordem 0 ) dada por J0(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2. Verifique que J0 satisfaz: x^2 J0^prime prime(x)+x J0^prime(x)+x^2 J0(x)=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função chamada Função de Bessel de ordem 0, representada por . A pergunta quer que a gente encontre o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de a função está definida. Além disso, precisamos verificar que essa função satisfaz uma certa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n(n!)^2 . A função é dada por uma série infinita:
Para descobrir onde essa série converge, ou seja, para quais valores de ela dá uma soma finita, usamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, consideramos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde L = limn to infty | (-1)^n+1 x^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2 cdot 2^2n(n!)^2(-1)^n x^2n | = limn to infty | x^24(n+1)^2 | = 0 . Calculando esse limite:
Como , a série converge para todo valor real de . Portanto, o domínio de é todos os números reais.

Passo 4

Agora, vamos verificar que x^2 J0^prime prime(x) + x J0^prime(x) + x^2 J0(x) = 0 satisfaz a equação diferencial:
Para isso, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de .

Passo 5

Derivando termo a termo a série de J0^prime(x) = sumn=1^infty (-1)^n 2n x^2n-12^2n(n!)^2 = sumn=1^infty (-1)^n n x^2n-12^2n-1(n!)^2 :
Primeira derivada:
J0^prime prime(x) = sumn=1^infty (-1)^n 2n(2n-1) x^2n-22^2n(n!)^2 = sumn=1^infty (-1)^n n(2n-1) x^2n-22^2n-2(n!)^2
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo x^2 ( sumn=1^infty (-1)^n n(2n-1) x^2n-22^2n-2(n!)^2 ) + x ( sumn=1^infty (-1)^n n x^2n-12^2n-1(n!)^2 ) + x^2 ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n(n!)^2 ) = 0 , e na equação diferencial:
Simplificando os termos, percebemos que todas as somas se cancelam, confirmando que a equação é satisfeita.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . Além disso, satisfaz a equação diferencial .

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