Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , em que
em que é a curva da intersecção do plano com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é a intersecção do plano com o cilindro , e ela está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície. Precisaremos entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de , parametrizar a superfície e então calcular a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Onde:
é o rotacional de .
é o vetor normal à superfície .
é um elemento de área na superfície.
Então, para aplicar o Teorema de Stokes, vamos precisar calcular o rotacional de e depois fazer a integral de superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Para o nosso campo F(x, y, z) = -y^2 i + x j + z^2 k,
Fx = -y^2, Fy = x, Fz = z^2
Calculando o determinante:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i - ( partial Fzpartial x - partial Fxpartial z ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Calculando cada termo:
partial Fzpartial y = 0
partial Fypartial z = 0
partial Fzpartial x = 0
partial Fxpartial z = 0
partial Fypartial x = 1
partial Fxpartial y = -2y
Então,
nabla times F = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (1 - (-2y))k = (1 + 2y)k
Passo 4
Agora precisamos parametrizar a superfície S limitada pela curva C. Já que C é a intersecção do plano x+y+z=5 com o cilindro x^2+y^2=1, podemos escolher S como a parte do plano x+y+z=5 dentro do cilindro x^2+y^2=1.
Para parametrizar o plano, podemos resolver para z:
z = 5 - x - y
Então, as coordenadas de qualquer ponto na superfície são:
r(x, y) = x i + y j + (5 - x - y) k
Como a área está limitada pelo cilindro x^2+y^2=1, usaremos coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos definir:
x = r cos theta, y = r sin theta, com 0 <= r <= 1, 0 <= theta < 2pi
Passo 5
Precisamos calcular o vetor normal n à superfície. Para isso, podemos usar o gradiente do plano x+y+z=5. O vetor normal é dado por:
n = nabla (x+y+z)|nabla (x+y+z)| = i + j + kraiz1^2 + 1^2 + 1^2 = i + j + kraiz3
No entanto, como estamos usando o Teorema de Stokes, não precisamos normalizar o vetor. Basta usar:
n , dS = (i + j + k) , dA
Onde dA é o elemento de área no plano.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
(nabla times F) cdot n , dS = (1 + 2y) k cdot (i + j + k) , dA = (1 + 2y) cdot 1 , dA = (1 + 2y) , dA
Agora precisamos expressar y em termos das coordenadas polares:
y = r sin theta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.
Então, a integral fica:
integral duplaS (1 + 2r sin theta) , r , dr , dtheta
Passo 7
Vamos calcular a integral:
integral0^2pi integral0^1 (1 + 2r sin theta) , r , dr , dtheta
Primeiro, fazemos a integral em r:
integral0^1 (1 + 2r sin theta) , r , dr = integral0^1 r + 2r^2 sin theta , dr = [ r^22 + 2r^33 sin theta ]0^1 = 12 + 23 sin theta
Agora, integramos em theta:
integral0^2pi ( 12 + 23 sin theta ) dtheta = 12 cdot 2pi + 23 cdot [ -cos theta ]0^2pi = pi + 23 ( -cos 2pi + cos 0 ) = pi + 23 ( -1 + 1 ) = pi
Resposta
A integral de linha integralC F cdot d r é igual a pi.