Use o Teorema de Green para calcular
, onde
e
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos pede para calcular
, onde
e
é a circunferência
, orientada anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
. Ou seja:
Isso nos facilita porque calcular uma integral dupla sobre uma região pode ser mais simples do que a integral de linha original.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial
:
Agora precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Isso simplifica nossa integral de linha para uma integral dupla sobre a região
da circunferência
.
Passo 6
A expressão dentro da integral dupla é
. Sabemos que na circunferência
, então:
Portanto, a integral dupla se torna:
A integral
é simplesmente a área da região
.
Passo 7
A região
é a circunferência de raio
(porque
). A área de um círculo é
, então:
Substituindo na expressão anterior: