Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r, onde
F(x, y)=(e^x+x^2 y, e^y-x y^2)
e C é a circunferência x^2+y^2=25, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos pede para calcular , onde e é a circunferência , orientada anti-horário. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:
Isso nos facilita porque calcular uma integral dupla sobre uma região pode ser mais simples do que a integral de linha original.

Passo 3

Vamos identificar P = e^x + x^2 y Q = e^y - x y^2 e no nosso campo vetorial :
Agora precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x (e^y - x y^2) = - y^2 :
partial Ppartial y = partialpartial y (e^x + x^2 y) = x^2
E calculando :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( - y^2 - x^2 ) dA
Isso simplifica nossa integral de linha para uma integral dupla sobre a região da circunferência .

Passo 6

A expressão dentro da integral dupla é - (x^2 + y^2) = -25 . Sabemos que na circunferência integral duplaD -25 , dA = -25 integral duplaD dA , então:
Portanto, a integral dupla se torna:
A integral é simplesmente a área da região .

Passo 7

A região integral duplaD dA = pi times 5^2 = 25pi é a circunferência de raio -25 times 25pi = -625pi (porque ). A área de um círculo é , então:
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

integralC F cdot d r = -625pi

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