Use Transformada de Laplace para resolver o sistema:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais e pede as soluções
e
:
Informações relevantes:
- As incógnitas a determinar são
e para . - As condições iniciais são
e . - O método pedido é usar Transformada de Laplace.
Passo 2
Breve revisão (rápida e prática) da Transformada de Laplace que vou usar:
- Definição: a Transformada de Laplace de uma função
é
- Propriedade da linearidade:
. - Transformada da derivada (fundamental para sistemas): se
e é conhecido, então
- Formulas padrão que vou usar para inverter depois:
Estas permitiriam reconhecer a forma no domínio de
e voltar a
.
Passo 3
Aplico a Transformada de Laplace a cada equação do sistema. Denoto
Transformando a primeira equação
e usando
e linearidade:
Como
, isto vira
Transformando a segunda equação
usando
e
:
Passo 4
Reescrevo as duas equações transformadas em forma algébrica linear em
e
.
Da primeira:
Da primeira:
Da segunda:
Portanto o sistema algébrico é
Passo 5
Resolvo o sistema linear para
e
. Vou usar a regra de Cramer (método limpo e direto aqui).
Matriz dos coeficientes:
Determinante de
:
Determinante para obter
(substitui coluna 1 pelos termos independentes
):
Logo
Determinante para obter
(substitui coluna 2 pelos termos independentes):
Logo
Passo 6
Tenho agora as transformadas:
Repare que estas frações têm exatamente as formas conhecidas das transformadas de
e
com
e
.
Passo 7
Faço a inversa reconhecendo as fórmulas:
- Como
, concluo que
- Como
, e eu tenho um sinal negativo, concluo que
Passo 8
Checagem rápida das condições iniciais para ganhar confiança:
As soluções satisfazem as condições iniciais e fazem sentido físico/matemático (exponencial com oscilação).