O que é pedido: encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema e as condições iniciais.
Informações relevantes dadas:
Termos lineares com coeficientes constantes aparecem nas duas equações.
Há um termo forçante não homogêneo \,e^{2t}\, apenas na equação de x^{\prime}.
As condições iniciais são \,x(0)=0 e \,y(0)=1.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial para organizar as ideias. Definindo \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}, podemos escrever
x_h(t)=e^{4t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),\qquad y_h(t)=e^{4t}\big(C_1\sin t - C_2\cos t\big),
com C_1,C_2 constantes.]
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular \mathbf{u}_p(t) do sistema não homogêneo. O termo forçante é \mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}\\[4pt]0\end{pmatrix}. Como o forçamento é da forma \mathbf{b}e^{2t} com \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e 2 não é autovalor de A (os autovalores são 4\pm i), tentamos uma solução particular da forma
\mathbf{u}_p(t)=\mathbf{v}\,e^{2t},
onde \mathbf{v}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} é vetor constante a determinar. Substituindo em \mathbf{u}^{\prime}=A\mathbf{u}+\mathbf{f} obtemos