Considere o campo de força dado por
Verifique se é campo conservativo e encontre a função potencial. Utilize-a para calcular o trabalho realizado por
para deslocar uma partícula sobre a hélice
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar se o campo de força é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. Depois usar essa função potencial para calcular o trabalho realizado por esse campo ao deslocar uma partícula sobre a hélice dada. \n
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente): \n
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente): \n
- O campo de força é
. Vou tratar suas componentes como , e . \n - A curva (hélice) é
para . \n - Domínio natural do campo: todas as coordenadas aparecem em polinômios e funções polinomiais multiplicadas por constantes, então o domínio é todo
. \n
Perguntas explícitas: \n
- Verificar se o campo é conservativo. \n
- Encontrar uma função potencial (uma função
tal que ). \n - Usar essa função potencial para calcular o trabalho ao longo da hélice dada.
Passo 2
Como verificamos se um campo vetorial é conservativo (aula rápida e prática)? \n
- Em domínios simples (como
, que é simplesmente conexo), um campo vetorial é conservativo se e somente se seu rotacional (curl) for o vetor zero em todo ponto: . \n - Fórmula do rotacional em componentes (útil para aplicar):
\n
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias (vou mostrar cada passo): \n
-
\n -
\n -
\n -
\n -
\n -
\n
Substituindo na fórmula do rotacional:
\n
Conclusão deste passo: o rotacional é o vetor nulo em todo
, então o campo
é conservativo. (Boa notícia: isso nos permite usar função potencial e o teorema fundamental da linha.)
Passo 3
Como encontrar a função potencial
(estratégia e por que funciona)? \n
- Se
existe, temos as igualdades \n - Procedimento prático: integramos
em relação a (tratando como constantes) para obter até uma função arbitrária de ; depois usamos as outras equalidades para determinar essa função arbitrária. Vou fazer isso passo a passo. \n
Integrando
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(porque ao integrar em
tratamos
como constantes). \n
Agora usamos a condição
. Calculemos
a partir da expressão obtida:
Isso deve ser igual a
. Igualando:
\n
Integrando em relação a
:
onde
é agora uma função que depende só de
. \n
Substituindo de volta temos até agora:
Passo 4
Agora usamos a condição envolvendo
:
. \n
Calcule
a partir da expressão acima:
Isso deve ser igual a
. Logo
Integramos em
:
onde
é constante absoluta. \n
Portanto a função potencial (uma escolha conveniente, sem nos importar com a constante
) é
Observação prática: para o cálculo de trabalho por diferença de potenciais, a constante
se cancela, então podemos tomar
para simplificar.
Passo 5
Como calcular o trabalho usando a função potencial? (Teorema fundamental para campos conservativos) \n
- Se
e é uma curva parametrizada desde até , então o trabalho \n
Aqui a curva é dada porcom de a . Então os pontos inicial e final são e . Vamos calcular ambos: \n - Para
: \n - Para
: \n
Agora avaliamos
nesses pontos. Usando a expressão (com
para simplificar):
\n
- Em
: \n - Em
: \n
Aplicando o teorema: