Considere o campo de força dado por f=\left(x^{2}+y, y^{2}+x, z \cdot e^{2}\right) Verifique se é campo conservativo e encontre a função potencial. Utilize-a para calcular o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula sobre a hélice r(t)=\left(\cos t, 4 \operatorname{sen} t, \frac{t}{2 \pi}\right)
O \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar se o campo de força é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. Depois usar essa função potencial para calcular o trabalho realizado por esse campo ao deslocar uma partícula sobre a hélice dada. \n
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente): \n
  • O campo de força é f=\big(x^{2}+y,\; y^{2}+x,\; z\cdot e^{2}\big). Vou tratar suas componentes como P(x,y,z)=x^{2}+y, Q(x,y,z)=y^{2}+x e R(x,y,z)=z e^{2}. \n
  • A curva (hélice) é \displaystyle r(t)=\big(\cos t,\;4\sin t,\;\frac{t}{2\pi}\big) para 0\le t\le 2\pi. \n
  • Domínio natural do campo: todas as coordenadas aparecem em polinômios e funções polinomiais multiplicadas por constantes, então o domínio é todo \mathbb{R}^{3}. \n
    Perguntas explícitas: \n
  1. Verificar se o campo é conservativo. \n
  2. Encontrar uma função potencial (uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=f). \n
  3. Usar essa função potencial para calcular o trabalho ao longo da hélice dada.

Passo 2

Como verificamos se um campo vetorial é conservativo (aula rápida e prática)? \n
  • Em domínios simples (como \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo), um campo vetorial f=(P,Q,R) é conservativo se e somente se seu rotacional (curl) for o vetor zero em todo ponto: \nabla\times f=\mathbf{0}. \n
  • Fórmula do rotacional em componentes (útil para aplicar): \nabla\times f=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right). \n
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias (vou mostrar cada passo): \n
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y\big)=1. \n
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}+x\big)=1. \n
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2}+y\big)=0. \n
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(z e^{2}\big)=0. \n
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y^{2}+x\big)=0. \n
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(z e^{2}\big)=0. \n
Substituindo na fórmula do rotacional: \nabla\times f=\big(0-0,\;0-0,\;1-1\big)=(0,0,0). \n
Conclusão deste passo: o rotacional é o vetor nulo em todo \mathbb{R}^{3}, então o campo f é conservativo. (Boa notícia: isso nos permite usar função potencial e o teorema fundamental da linha.)

Passo 3

Como encontrar a função potencial \varphi (estratégia e por que funciona)? \n
  • Se \varphi existe, temos as igualdades \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\;\frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q,\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}=R. \n
  • Procedimento prático: integramos P em relação a x (tratando y,z como constantes) para obter \varphi até uma função arbitrária de y,z; depois usamos as outras equalidades para determinar essa função arbitrária. Vou fazer isso passo a passo. \n
Integrando \displaystyle P(x,y,z)=x^{2}+y em relação a x: \varphi(x,y,z)=\int (x^{2}+y)\,dx=\frac{1}{3}x^{3}+x y+g(y,z), onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (porque ao integrar em x tratamos y,z como constantes). \n
Agora usamos a condição \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q. Calculemos \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida: \frac{\partial \varphi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{1}{3}x^{3}+x y+g(y,z)\Big)= x + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z). Isso deve ser igual a Q(y,x,z)=y^{2}+x. Igualando: x+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=y^{2}+x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=y^{2}. \n
Integrando em relação a y: g(y,z)=\int y^{2}\,dy=\frac{1}{3}y^{3}+h(z), onde h(z) é agora uma função que depende só de z. \n
Substituindo de volta temos até agora: \varphi(x,y,z)=\frac{1}{3}x^{3}+x y+\frac{1}{3}y^{3}+h(z).

Passo 4

Agora usamos a condição envolvendo z: \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R. \n
Calcule \partial\varphi/\partial z a partir da expressão acima: \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=h'(z). Isso deve ser igual a R(x,y,z)=z e^{2}. Logo h'(z)=z e^{2}. Integramos em z: h(z)=\int z e^{2}\,dz=\frac{1}{2}z^{2} e^{2}+C, onde C é constante absoluta. \n
Portanto a função potencial (uma escolha conveniente, sem nos importar com a constante C) é \boxed{\displaystyle \varphi(x,y,z)=\frac{1}{3}x^{3}+x y+\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{2}z^{2} e^{2}+C.} Observação prática: para o cálculo de trabalho por diferença de potenciais, a constante C se cancela, então podemos tomar C=0 para simplificar.

Passo 5

Como calcular o trabalho usando a função potencial? (Teorema fundamental para campos conservativos) \n
  • Se f=\nabla\varphi e C é uma curva parametrizada desde A até B, então o trabalho \displaystyle W=\int_{C} f\cdot dr=\varphi(B)-\varphi(A). \n
    Aqui a curva é dada por r(t) com t de \displaystyle 0 a \displaystyle 2\pi. Então os pontos inicial e final são r(0) e r(2\pi). Vamos calcular ambos: \n
  • Para t=0: \displaystyle r(0)=\big(\cos 0,\;4\sin 0,\;\tfrac{0}{2\pi}\big)=(1,0,0). \n
  • Para t=2\pi: \displaystyle r(2\pi)=\big(\cos 2\pi,\;4\sin 2\pi,\;\tfrac{2\pi}{2\pi}\big)=(1,0,1). \n
Agora avaliamos \varphi nesses pontos. Usando a expressão (com C=0 para simplificar): \varphi(x,y,z)=\frac{1}{3}x^{3}+x y+\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{2}z^{2} e^{2}. \n
  • Em r(0)=(1,0,0): \varphi(1,0,0)=\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+1\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+\frac{1}{2}\cdot 0^{2} e^{2}=\frac{1}{3}. \n
  • Em r(2\pi)=(1,0,1): \varphi(1,0,1)=\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+1\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+\frac{1}{2}\cdot 1^{2} e^{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}e^{2}. \n
Aplicando o teorema: W=\varphi\big(r(2\pi)\big)-\varphi\big(r(0)\big)=\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}e^{2}\Big)-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}e^{2}.

Resposta

W=\displaystyle \frac{1}{2}e^{2}

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