Questão (4 A) partir da equação dada, obtenha (z) como uma ou mais funções de (x) e y e esboce os gráficos dessas funções.
(x{2}-y{2}-z=0)
(x{2}-y{2}-z=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que obtenhamos
como uma ou mais funções de
e
e que esbocemos os gráficos dessas funções.
Informações relevantes: a equação relaciona ,
e
de forma algébrica. O que é pedido é isolar
e interpretar geometricamente a superfície definida por essa função.
Informações relevantes: a equação relaciona
Passo 2
Isolando
na equação dada: começamos com
Somamos
aos dois lados e subtraímos
(ou reorganizamos) para obter
Essa é a expressão de
em função de
e
.
Passo 3
Interpretação imediata: existe uma única função real
dada por
O domínio dessa função são todos os pares
com
e
(ou seja, todo o plano
) porque polinômios estão definidos para todos os reais.
Passo 4
Que tipo de superfície é
?
Mostro um método prático para reconhecer: quando temos soma/diferença de quadrados em e
com sinais opostos (um positivo e outro negativo), a superfície típica é uma sela chamada de hiperbolóide parabólico ou, mais precisamente, hiperbólica-paraboloide. Uma característica central: ao mover-se em direções diferentes a curvatura tem sinais opostos (para uma direção a superfície sobe, para outra ela desce) — por isso o nome “sela”.
Mostro um método prático para reconhecer: quando temos soma/diferença de quadrados em
Passo 5
Analisando secções por planos paralelos ao eixo
: fixando
constante.
Se com
fixo, então a curva interseção é
Se
Isto é uma parábola em
com vértice em
e valor no vértice
. Observações práticas:
- Para
obtemos , uma parábola que abre para cima com vértice em . - Para
obtemos a mesma parábola em deslocada para baixo por (vértice em ).
Essas secções mostram que, em cada linha paralela ao eixo, a superfície parece uma parábola para cima.
Passo 6
Analisando secções por planos paralelos ao eixo
: fixando
constante.
Se com
fixo, então
Se
Isto é uma parábola em
, mas que abre para baixo (coeficiente de
negativo). Observações:
- Para
temos , uma parábola que abre para baixo com vértice em . - Para
é a mesma parábola em deslocada para cima por (vértice em no plano ).
Essas secções mostram que, em cada linha paralela ao eixo, a superfície parece uma parábola para baixo.
Passo 7
Conclusão qualitativa a partir das secções: ao longo da direção
(isto é, seguindo a linha
) a superfície sobe como
; ao longo da direção
(isto é, seguindo a linha
) ela desce como
. Essa combinação de subir numa direção e descer na outra é justamente a forma de sela (hiperbólica-paraboloide).
Passo 8
Curvas de nível (contornos) — outra forma útil de esboçar: fixar
com
. Temos
Dependendo de
obtemos:
- Para
: que se fatoriza como . Então a curva de nível é o par de linhas retas e (duas linhas cruzadas). - Para
: é uma hipérbole cujos ramos se abrem na direção do eixo (ou seja, ramos aproximam-se de linhas assíntotas , mas com abertura ao longo de ). - Para
: é uma hipérbole cujos ramos se abrem na direção do eixo (ou seja, orientada perpendicularmente ao caso ).
Esses contornos mostram como, ao subir ou descer em, as interseções no plano mudam de hipérboles orientadas de formas diferentes.
Passo 9
Forma paramétrica (útil para esboço e para ver simetrias): podemos parametrizar a superfície escolhendo parâmetros
e
e pondo
Isso mostra diretamente que para cada par
há um ponto na superfície e que não há restrição adicional.
Passo 10
Como esboçar passo a passo (instrução prática para a prova, sem desenho perfeito):
- Desenhe os eixos
, e com vertical. - Marque a interseção com o plano
: a curva é (parábola que abre para cima). Trace essa parábola no plano . - Marque a interseção com o plano
: a curva é (parábola que abre para baixo). Trace essa parábola no plano . - No plano
desenhe as linhas e (essas são as linhas onde a sela cruza o plano ). - A partir desses traços, imagine a superfície subindo ao longo da direção
e descendo ao longo da direção ; conecte suavemente as parabolas para formar a típica forma de sela. - Se quiser contornos de nível, para
desenhe hipérboles no plano conforme ou .
Passo 11
Resumo das propriedades úteis para lembrar na prova (dicas rápidas):
- Fórmula:
. - Tipo de superfície: hiperbólica-paraboloide (sela).
- Secções
constante: parábolas em que abrem para cima. - Secções
constante: parábolas em que abrem para baixo. - Curvas de nível
: hipérboles (ou par de retas quando ).
Anote essas pistas e, ao esboçar, faça primeiro os traços nas seções coordenadas para guiar o restante do desenho.
Resposta
Superfície: hiperbólica-paraboloide (sela), com secções
constante dando
(parábolas para cima), secções
constante dando
(parábolas para baixo), e curvas de nível
que são hipérboles (ou linhas
quando
).