Questão (4 A) partir da equação dada, obtenha (z) como uma ou mais funções de (x) e y e esboce os gráficos dessas funções.
(x{2}-y{2}-z=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}-y^{2}-z=0
e pede que obtenhamos z como uma ou mais funções de x e y e que esbocemos os gráficos dessas funções.
Informações relevantes: a equação relaciona x, y e z de forma algébrica. O que é pedido é isolar z e interpretar geometricamente a superfície definida por essa função.

Passo 2

Isolando z na equação dada: começamos com
x^{2}-y^{2}-z=0.
Somamos z aos dois lados e subtraímos 0 (ou reorganizamos) para obter
z = x^{2}-y^{2}.
Essa é a expressão de z em função de x e y.

Passo 3

Interpretação imediata: existe uma única função real z=f(x,y) dada por
f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
O domínio dessa função são todos os pares (x,y) com x\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R} (ou seja, todo o plano xy) porque polinômios estão definidos para todos os reais.

Passo 4

Que tipo de superfície é z=x^{2}-y^{2}?
Mostro um método prático para reconhecer: quando temos soma/diferença de quadrados em x e y com sinais opostos (um positivo e outro negativo), a superfície típica é uma sela chamada de hiperbolóide parabólico ou, mais precisamente, hiperbólica-paraboloide. Uma característica central: ao mover-se em direções diferentes a curvatura tem sinais opostos (para uma direção a superfície sobe, para outra ela desce) — por isso o nome “sela”.

Passo 5

Analisando secções por planos paralelos ao eixo z: fixando y constante.
Se y=y_{0} com y_{0}\in\mathbb{R} fixo, então a curva interseção é
z(x)=x^{2}-y_{0}^{2}.
Isto é uma parábola em x com vértice em x=0 e valor no vértice z(0)=-y_{0}^{2}. Observações práticas:
  • Para y_{0}=0 obtemos z=x^{2}, uma parábola que abre para cima com vértice em (x,z)=(0,0).
  • Para y_{0}\neq 0 obtemos a mesma parábola em x deslocada para baixo por y_{0}^{2} (vértice em (0,-y_{0}^{2})).
    Essas secções mostram que, em cada linha paralela ao eixo x, a superfície parece uma parábola para cima.

Passo 6

Analisando secções por planos paralelos ao eixo z: fixando x constante.
Se x=x_{0} com x_{0}\in\mathbb{R} fixo, então
z(y)=x_{0}^{2}-y^{2} = -(y^{2}-x_{0}^{2}).
Isto é uma parábola em y, mas que abre para baixo (coeficiente de y^{2} negativo). Observações:
  • Para x_{0}=0 temos z=-y^{2}, uma parábola que abre para baixo com vértice em (y,z)=(0,0).
  • Para x_{0}\neq 0 é a mesma parábola em y deslocada para cima por x_{0}^{2} (vértice em (0,x_{0}^{2}) no plano y,z).
    Essas secções mostram que, em cada linha paralela ao eixo y, a superfície parece uma parábola para baixo.

Passo 7

Conclusão qualitativa a partir das secções: ao longo da direção x (isto é, seguindo a linha y=0) a superfície sobe como z=x^{2}; ao longo da direção y (isto é, seguindo a linha x=0) ela desce como z=-y^{2}. Essa combinação de subir numa direção e descer na outra é justamente a forma de sela (hiperbólica-paraboloide).

Passo 8

Curvas de nível (contornos) — outra forma útil de esboçar: fixar z=c com c\in\mathbb{R}. Temos
x^{2}-y^{2}=c.
Dependendo de c obtemos:
  • Para c=0: x^{2}-y^{2}=0 que se fatoriza como (x-y)(x+y)=0. Então a curva de nível é o par de linhas retas x=y e x=-y (duas linhas cruzadas).
  • Para c>0: x^{2}-y^{2}=c é uma hipérbole cujos ramos se abrem na direção do eixo x (ou seja, ramos aproximam-se de linhas assíntotas x=\pm y, mas com abertura ao longo de x).
  • Para c<0: x^{2}-y^{2}=c é uma hipérbole cujos ramos se abrem na direção do eixo y (ou seja, orientada perpendicularmente ao caso c>0).
    Esses contornos mostram como, ao subir ou descer em z, as interseções no plano xy mudam de hipérboles orientadas de formas diferentes.

Passo 9

Forma paramétrica (útil para esboço e para ver simetrias): podemos parametrizar a superfície escolhendo parâmetros u e v e pondo
x=u,\quad y=v,\quad z=u^{2}-v^{2}.
Isso mostra diretamente que para cada par (u,v)\in\mathbb{R}^{2} há um ponto na superfície e que não há restrição adicional.

Passo 10

Como esboçar passo a passo (instrução prática para a prova, sem desenho perfeito):
  1. Desenhe os eixos x, y e z com z vertical.
  2. Marque a interseção com o plano y=0: a curva é z=x^{2} (parábola que abre para cima). Trace essa parábola no plano y=0.
  3. Marque a interseção com o plano x=0: a curva é z=-y^{2} (parábola que abre para baixo). Trace essa parábola no plano x=0.
  4. No plano z=0 desenhe as linhas x=y e x=-y (essas são as linhas onde a sela cruza o plano z=0).
  5. A partir desses traços, imagine a superfície subindo ao longo da direção x e descendo ao longo da direção y; conecte suavemente as parabolas para formar a típica forma de sela.
  6. Se quiser contornos de nível, para z=c desenhe hipérboles no plano xy conforme c>0 ou c<0.

Passo 11

Resumo das propriedades úteis para lembrar na prova (dicas rápidas):
  • Fórmula: z=x^{2}-y^{2}.
  • Tipo de superfície: hiperbólica-paraboloide (sela).
  • Secções y= constante: parábolas em x que abrem para cima.
  • Secções x= constante: parábolas em y que abrem para baixo.
  • Curvas de nível x^{2}-y^{2}=c: hipérboles (ou par de retas quando c=0).
    Anote essas pistas e, ao esboçar, faça primeiro os traços nas seções coordenadas para guiar o restante do desenho.

Resposta

z = x^{2}-y^{2}
Superfície: hiperbólica-paraboloide (sela), com secções y= constante dando z=x^{2}-y_{0}^{2} (parábolas para cima), secções x= constante dando z=x_{0}^{2}-y^{2} (parábolas para baixo), e curvas de nível x^{2}-y^{2}=c que são hipérboles (ou linhas x=\pm y quando c=0).

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