Questão (4 A) partir da equação dada, obtenha (z) como uma ou mais funções de (x) e y e esboce os gráficos dessas funções.
(4 x+5 y+z=10)
(4 x+5 y+z=10)
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede duas coisas: (1) obter
como uma ou mais funções de
e
; (2) esboçar os gráficos dessas funções.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da equação (4, 5 e o 1 que multiplica ) e o termo constante 10. Não há restrição explícita sobre
ou
.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da equação (4, 5 e o 1 que multiplica
Passo 2
Primeiro objetivo técnico: isolar
na equação. Isso é só manipulação algébrica básica: subtrair
e
dos dois lados. Faço isso passo a passo:
Pronto: encontramos
em função de
e
.
Passo 3
Agora explico o que significa essa expressão e como interpretá‑la em prova. Escrevemos a função explicitamente como
O que cada símbolo significa:
-
e são as variáveis independentes (posso escolher quaisquer valores reais). -
é a variável dependente (seu valor é determinado por e ). -
é a notação que diz “a função , avaliada em ”.
Domínio: todos os pares(não há divisão por zero nem raiz par de número negativo etc.).
Tipo da função: é uma função linear eme (polinômio de primeiro grau), portanto seu gráfico em é um plano.
Passo 4
Como esboçar o gráfico do plano? A técnica mais prática em prova é encontrar interceptos com os eixos coordenados e algumas retas de interseção com planos coordenados. Vou calcular os interceptos (obrigatório para um esboço razoável).
Intercepto com o eixo
(ou seja, o ponto onde
e
): ponho
e
na equação original:
Então o ponto é
.
Intercepto com o eixo
(onde
e
): ponho
e
:
Ponto:
.
Intercepto com o eixo
(onde
e
): ponho
e
:
Ponto:
.
Esses três pontos não são colineares, portanto determinam um plano único — que é justamente o gráfico de
.
Passo 5
Para ajudar no esboço, é útil também obter as interseções com os planos coordenados (retas no espaço):
- Interseção com o plano
(o plano ): basta pôr na equação e obter a reta no plano :
É a reta que passa pelos pontos
e
.
- Interseção com o plano
(o plano ): ponho :
É uma reta no plano
que passa por
e
.
- Interseção com o plano
(o plano ): ponho :
É uma reta no plano
que passa por
e
.
Passo 6
Instruções práticas para esboçar (faça à mão num rascunho):
- Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixos
(para a direita), (para dentro da página ou para a esquerda em perspectiva) e (para cima). - Marque e rotule os pontos interceptos:
no eixo , no eixo , no eixo . Use escalas proporcionais (por exemplo, 1 cm = 1 unidade). - Una os três pontos com segmentos — isso já mostra a “base triangular” onde o plano corta os planos coordenados.
- Estenda esse triângulo infinitamente (desenhe uma lâmina plana passando pelos segmentos) para representar o plano inteiro. Sombrar levemente um lado ajuda a visualizar.
- Opcional: desenhe as retas correspondentes às seções por
constante ou constante. Por exemplo, fixando obtemos retas no plano paralelo ao eixo – :
que é uma reta de inclinação
em relação a
(ou seja, ao aumentar
em 1,
diminui 4 unidades).
Passo 7
Mais intuição útil (para a prova): a equação mostra que movendo-se uma unidade em
(mantendo
fixo) muda
em
; movendo-se uma unidade em
(mantendo
fixo) muda
em
. Isso explica por que o plano “inclina” mais na direção do eixo
do que na direção do eixo
.
Resposta
Gráfico: plano em
Fatias/retas: para