Questão (4 A) partir da equação dada, obtenha (z) como uma ou mais funções de (x) e y e esboce os gráficos dessas funções.
(4 x+5 y+z=10)

Passo 1

O enunciado fornece a equação
4x+5y+z=10
e pede duas coisas: (1) obter z como uma ou mais funções de x e y; (2) esboçar os gráficos dessas funções.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da equação (4, 5 e o 1 que multiplica z) e o termo constante 10. Não há restrição explícita sobre x ou y.

Passo 2

Primeiro objetivo técnico: isolar z na equação. Isso é só manipulação algébrica básica: subtrair 4x e 5y dos dois lados. Faço isso passo a passo:
4x+5y+z=10
z = 10 - 4x - 5y.
Pronto: encontramos z em função de x e y.

Passo 3

Agora explico o que significa essa expressão e como interpretá‑la em prova. Escrevemos a função explicitamente como
z = f(x,y)=10-4x-5y.
O que cada símbolo significa:
  • x e y são as variáveis independentes (posso escolher quaisquer valores reais).
  • z é a variável dependente (seu valor é determinado por x e y).
  • f(x,y) é a notação que diz “a função f, avaliada em (x,y)”.
    Domínio: todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 (não há divisão por zero nem raiz par de número negativo etc.).
    Tipo da função: é uma função linear em x e y (polinômio de primeiro grau), portanto seu gráfico em \mathbb{R}^3 é um plano.

Passo 4

Como esboçar o gráfico do plano? A técnica mais prática em prova é encontrar interceptos com os eixos coordenados e algumas retas de interseção com planos coordenados. Vou calcular os interceptos (obrigatório para um esboço razoável).
Intercepto com o eixo x (ou seja, o ponto onde y=0 e z=0): ponho y=0 e z=0 na equação original:
4x+5\cdot 0 + 0 = 10 \implies 4x=10 \implies x=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
Então o ponto é \left(\tfrac{5}{2},0,0\right).
Intercepto com o eixo y (onde x=0 e z=0): ponho x=0 e z=0:
4\cdot 0 + 5y + 0 = 10 \implies 5y=10 \implies y=2.
Ponto: \left(0,2,0\right).
Intercepto com o eixo z (onde x=0 e y=0): ponho x=0 e y=0:
z = 10-4\cdot 0 -5\cdot 0 = 10.
Ponto: \left(0,0,10\right).
Esses três pontos não são colineares, portanto determinam um plano único — que é justamente o gráfico de z=10-4x-5y.

Passo 5

Para ajudar no esboço, é útil também obter as interseções com os planos coordenados (retas no espaço):
  1. Interseção com o plano z=0 (o plano xy): basta pôr z=0 na equação e obter a reta no plano xy:
4x+5y=10 \quad\text{ou}\quad y=\frac{10-4x}{5}.
É a reta que passa pelos pontos \left(\tfrac{5}{2},0,0\right) e (0,2,0).
  1. Interseção com o plano x=0 (o plano yz): ponho x=0:
5y+z=10 \quad\text{ou}\quad z=10-5y.
É uma reta no plano x=0 que passa por (0,2,0) e (0,0,10).
  1. Interseção com o plano y=0 (o plano xz): ponho y=0:
4x+z=10 \quad\text{ou}\quad z=10-4x.
É uma reta no plano y=0 que passa por \left(\tfrac{5}{2},0,0\right) e (0,0,10).

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (faça à mão num rascunho):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixos x (para a direita), y (para dentro da página ou para a esquerda em perspectiva) e z (para cima).
  2. Marque e rotule os pontos interceptos: \left(\tfrac{5}{2},0,0\right) no eixo x, (0,2,0) no eixo y, (0,0,10) no eixo z. Use escalas proporcionais (por exemplo, 1 cm = 1 unidade).
  3. Una os três pontos com segmentos — isso já mostra a “base triangular” onde o plano corta os planos coordenados.
  4. Estenda esse triângulo infinitamente (desenhe uma lâmina plana passando pelos segmentos) para representar o plano inteiro. Sombrar levemente um lado ajuda a visualizar.
  5. Opcional: desenhe as retas correspondentes às seções por x= constante ou y= constante. Por exemplo, fixando y=c obtemos retas no plano paralelo ao eixo x z:
z=10-4x-5c,
que é uma reta de inclinação -4 em relação a x (ou seja, ao aumentar x em 1, z diminui 4 unidades).

Passo 7

Mais intuição útil (para a prova): a equação mostra que movendo-se uma unidade em x (mantendo y fixo) muda z em -4; movendo-se uma unidade em y (mantendo x fixo) muda z em -5. Isso explica por que o plano “inclina” mais na direção do eixo y do que na direção do eixo x.

Resposta

\displaystyle z=10-4x-5y.
Gráfico: plano em \mathbb{R}^3 que passa pelos pontos \left(\tfrac{5}{2},0,0\right),\\ (0,2,0) e (0,0,10).
Fatias/retas: para y=c fixa temos \displaystyle z=10-4x-5c (reta no plano y=c); para x=c fixa temos \displaystyle z=10-4c-5y (reta no plano x=c).

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