Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
Informações relevantes que o enunciado dá e as perguntas que precisamos responder:
- A função tem uma raiz quadrada no numerador: isso impõe uma condição sobre o radicando
. - A função tem um denominador: devemos garantir que o denominador não seja zero, ou seja,
. - A tarefa é descrever (e indicar graficamente) o conjunto de todos os pares
em que satisfazem as condições acima — esse conjunto é o domínio da função.
Passo 2
Condição da raiz quadrada (explicação didática).
- Para a expressão
estar definida nos reais, o radicando deve ser não-negativo. - Portanto exigimos
- Isolando
, obtemos a desigualdade equivalente
- Interpretação geométrica:
é uma reta passando pela origem com coeficiente angular . A condição corresponde à semiplano que fica “acima” dessa reta (incluindo a própria reta).
Passo 3
Condição do denominador (explicação didática).
- O denominador não pode ser zero, então exigimos
- Igualando a zero para ver quais pontos são proibidos, temos a equação da curva
- Essa é uma parábola no plano: coeficiente de
é , então a parábola abre para cima. Vamos caracterizá‑la (vértice, forma) para desenhar corretamente.
Passo 4
Estudo da parábola (detalhes para desenhar).
- Coeficientes:
, , . - Vértice: abscissa
. - Ordenada do vértice:
- Logo o vértice da parábola é
. Isso já nos diz que a parábola está "acima do eixo " nesse ponto; de qualquer forma, sabendo basta para saber que ela tem ramo voltado para cima.
Passo 5
Verificar interseção entre a reta limite do radicando e a parábola.
- Igualamos a reta
à parábola para ver se elas se cruzam:
- Transpondo todos os termos:
- Calculamos o discriminante:
- Como
, não há raízes reais; portanto a reta e a parábola não se intersectam no plano real.
Passo 6
Determinar a posição relativa (mais explícita) da parábola em relação à reta.
- Considere a diferença
- Esse é um polinômio quadrático com discriminante negativo (já visto) e coeficiente de
positivo, então para todo . - Em particular,
para todo . Ou seja: a parábola está totalmente acima da reta para todos os valores de . - Consequência: os pontos da parábola satisfazem
, logo os pontos da parábola estão estritamente dentro do semiplano onde a raiz está definida; por isso são pontos que seriam válidos para o numerador (radicando positivo), mas precisam ser excluídos por causa do denominador igual a zero.
Passo 7
Descrição geométrica final (como desenhar).
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta
com linha contínua (porque ela faz parte do domínio — a desigualdade é ). - Sombreie (ou marque) todo o semiplano acima dessa reta, ou seja, os pontos que satisfazem
. - Desenhe a parábola
(com vértice em e abertura para cima) — mas essa curva deve ser mostrada como excluída: por exemplo, trace a parábola com linha tracejada ou desenhe-a com círculos “abertos” indicando que pontos sobre ela não pertencem ao domínio. - Observação prática: qualquer ponto do semiplano com
está no candidato ao domínio, exceto se estiver exatamente sobre a parábola; a própria reta está incluída (onde a raiz fica zero), desde que o denominador não se anule aí — nós já verificamos que a parábola nunca cruza essa reta, então não há conflito: pontos da reta estão no domínio.
Passo 8
Checagem com exemplos numéricos (para ganhar confiança).
- Exemplo 1:
. Temos definido e denominador . Logo pertence ao domínio. - Exemplo 2: pegar um ponto sobre a parábola, por exemplo o vértice
. O radicando é , mas o denominador é zero (pois o ponto está na parábola), então esse ponto é excluído do domínio — confirma a regra de exclusão.