Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{4 x+y}}{y-3 x^{2}+2 x-2}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o domínio da função
f(x,y)=\frac{\sqrt{4x+y}}{y-3x^{2}+2x-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá e as perguntas que precisamos responder:
  1. A função tem uma raiz quadrada no numerador: isso impõe uma condição sobre o radicando 4x+y.
  2. A função tem um denominador: devemos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, y-3x^{2}+2x-2 \neq 0.
  3. A tarefa é descrever (e indicar graficamente) o conjunto de todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^2 que satisfazem as condições acima — esse conjunto é o domínio da função.

Passo 2

Condição da raiz quadrada (explicação didática).
  • Para a expressão \sqrt{4x+y} estar definida nos reais, o radicando deve ser não-negativo.
  • Portanto exigimos
4x+y \ge 0.
  • Isolando y, obtemos a desigualdade equivalente
y \ge -4x.
  • Interpretação geométrica: \;y=-4x\; é uma reta passando pela origem com coeficiente angular -4. A condição y\ge -4x corresponde à semiplano que fica “acima” dessa reta (incluindo a própria reta).

Passo 3

Condição do denominador (explicação didática).
  • O denominador não pode ser zero, então exigimos
y-3x^{2}+2x-2 \neq 0.
  • Igualando a zero para ver quais pontos são proibidos, temos a equação da curva
y = 3x^{2}-2x+2.
  • Essa é uma parábola no plano: coeficiente de x^{2} é 3>0, então a parábola abre para cima. Vamos caracterizá‑la (vértice, forma) para desenhar corretamente.

Passo 4

Estudo da parábola (detalhes para desenhar).
  • Coeficientes: a=3, b=-2, c=2.
  • Vértice: abscissa x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2\cdot 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.
  • Ordenada do vértice:
y_v = 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} -2\left(\dfrac{1}{3}\right) +2 = 3\cdot\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{3} +2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3} +2 = \dfrac{5}{3}.
  • Logo o vértice da parábola é \left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{5}{3}\right). Isso já nos diz que a parábola está "acima do eixo x" nesse ponto; de qualquer forma, sabendo a>0 basta para saber que ela tem ramo voltado para cima.

Passo 5

Verificar interseção entre a reta limite do radicando e a parábola.
  • Igualamos a reta \;y=-4x\; à parábola \;y=3x^{2}-2x+2\; para ver se elas se cruzam:
3x^{2}-2x+2 = -4x.
  • Transpondo todos os termos:
3x^{2}+2x+2 = 0.
  • Calculamos o discriminante:
\Delta = 2^{2} - 4\cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20.
  • Como \Delta<0, não há raízes reais; portanto a reta e a parábola não se intersectam no plano real.

Passo 6

Determinar a posição relativa (mais explícita) da parábola em relação à reta.
  • Considere a diferença
d(x) = \bigl(3x^{2}-2x+2\bigr) - (-4x) = 3x^{2}+2x+2.
  • Esse é um polinômio quadrático com discriminante negativo (já visto) e coeficiente de x^{2} positivo, então d(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Em particular, 3x^{2}-2x+2 > -4x para todo x. Ou seja: a parábola está totalmente acima da reta y=-4x para todos os valores de x.
  • Consequência: os pontos da parábola satisfazem y> -4x, logo os pontos da parábola estão estritamente dentro do semiplano onde a raiz está definida; por isso são pontos que seriam válidos para o numerador (radicando positivo), mas precisam ser excluídos por causa do denominador igual a zero.

Passo 7

Descrição geométrica final (como desenhar).
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Desenhe a reta \;y=-4x\; com linha contínua (porque ela faz parte do domínio — a desigualdade é \ge).
  • Sombreie (ou marque) todo o semiplano acima dessa reta, ou seja, os pontos que satisfazem \;y\ge -4x.
  • Desenhe a parábola \;y=3x^{2}-2x+2\; (com vértice em \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\right) e abertura para cima) — mas essa curva deve ser mostrada como excluída: por exemplo, trace a parábola com linha tracejada ou desenhe-a com círculos “abertos” indicando que pontos sobre ela não pertencem ao domínio.
  • Observação prática: qualquer ponto do semiplano com y>-4x está no candidato ao domínio, exceto se estiver exatamente sobre a parábola; a própria reta y=-4x está incluída (onde a raiz fica zero), desde que o denominador não se anule aí — nós já verificamos que a parábola nunca cruza essa reta, então não há conflito: pontos da reta estão no domínio.

Passo 8

Checagem com exemplos numéricos (para ganhar confiança).
  • Exemplo 1: (x,y)=(0,0). Temos \sqrt{4\cdot 0+0}=\sqrt{0} definido e denominador 0-(0)+0-2=-2\neq 0. Logo (0,0) pertence ao domínio.
  • Exemplo 2: pegar um ponto sobre a parábola, por exemplo o vértice \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\right). O radicando é 4\cdot\tfrac{1}{3}+\tfrac{5}{3}=\tfrac{9}{3}=3>0, mas o denominador é zero (pois o ponto está na parábola), então esse ponto é excluído do domínio — confirma a regra de exclusão.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge -4x\}\setminus\{(x,3x^{2}-2x+2)\mid x\in\mathbb{R}\}.

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