Seja
a curva parametrizada por
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que fazem parte do cálculo multivariável. A gente tem uma curva $ C $ parametrizada por $ \phi(t) = (t, t^2, t^3) $ para valores de $ t $ entre 0 e 1. A missão é calcular a integral de linha:
Para isso, precisamos substituir as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $ e depois integrar em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva $ \phi(t) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a $ t $, que nos darão $ dx $, $ dy $ e $ dz $:
Passo 4
Substituímos essas expressões na integral original. Lembrando que $ dx = \frac{dx}{dt} dt $, $ dy = \frac{dy}{dt} dt $ e $ dz = \frac{dz}{dt} dt $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Passo 7
Finalmente, avaliamos cada expressão nos limites de integração:
Resposta
Somando todos os resultados:
Então, o valor da integral é 146.