Seja C a curva parametrizada por integralC 30 y d x+70 z d y+216 x y d z. Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que fazem parte do cálculo multivariável. A gente tem uma curva $ C $ parametrizada por $ \phi(t) = (t, t^2, t^3) $ para valores de $ t $ entre 0 e 1. A missão é calcular a integral de linha:
C
Para isso, precisamos substituir as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $ e depois integrar em relação a $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva $ \phi(t) $:
phi(t)
x(t) = t
y(t) = t^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a $ t $, que nos darão $ dx $, $ dy $ e $ dz $:
t
dx
dy

Passo 4

Substituímos essas expressões na integral original. Lembrando que $ dx = \frac{dx}{dt} dt $, $ dy = \frac{dy}{dt} dt $ e $ dz = \frac{dz}{dt} dt $:
dx = dxdt dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
30t^2 + 140t^4 + 648t^5
Então, a integral fica:
integral0^1 (30t^2 + 140t^4 + 648t^5) dt

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 30t^2 , dt + integral0^1 140t^4 , dt + integral0^1 648t^5 , dt
Calculando cada integral:
[10t^3]0^1 + [28t^5]0^1 + [108t^6]0^1

Passo 7

Finalmente, avaliamos cada expressão nos limites de integração:
10(1)^3 - 10(0)^3 = 10
28(1)^5 - 28(0)^5 = 28
108(1)^6 - 108(0)^6 = 108

Resposta

Somando todos os resultados:
10 + 28 + 108 = 146
Então, o valor da integral é 146.

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