Considere o campo de força variável \vec{F}(x, y)=-k(x, y), onde k>0 é uma constante. Se o ponto de aplicação desta força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1, no primeiro quadrante, calcule o trabalho realizado por \vec{F}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Força: \vec{F}(x,y) = -k(x,y), onde k>0 é constante. Interpreto isso como os componentes \vec{F}(x,y)=(-k x, -k y).
  • Curva: a parte da elipse \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1 que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido anti-horário.
  • Pontos notáveis da elipse (extraídos da equação da elipse): interceptos com os eixos são (\pm 2,0) e (0,\pm 4). Assim, a parte no primeiro quadrante liga (2,0) a (0,4) seguindo sentido anti-horário.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao deslocar o ponto de aplicação ao longo dessa parte da elipse (isto é, a integral de linha de \vec{F} ao longo do arco do primeiro quadrante, orientado anti-horário).

Passo 2

Definição da grandeza que vamos calcular (fórmula do trabalho para força variável):
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde C é a curva (o arco da elipse no primeiro quadrante) com a orientação dada, e d\vec{r}=(dx,dy).
Aqui temos \vec{F}(x,y)=(-kx,-ky). Então explicitamente
\vec{F}\cdot d\vec{r} = (-kx)\,dx + (-ky)\,dy = -k\bigl(x\,dx + y\,dy\bigr).

Passo 3

Observação importante (conceito que facilita muito): campos do tipo \vec{F}=-k(x,y) são campos conservativos, porque existem funções potenciais cujos gradientes dão k(x,y). Vamos construir essa potencial e usar o Teorema Fundamental para integrais de linha.
Proponho a função
\varphi(x,y)=\frac{k}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Calcule o gradiente:
\nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right) = \bigl(kx,\,ky\bigr).
Portanto
\vec{F}(x,y) = -k(x,y) = -\nabla\varphi(x,y).
Explicação do porquê isso facilita: para um campo da forma \vec{F}=-\nabla\varphi (campo conservativo), a integral de linha entre dois pontos A e B depende apenas dos valores da potencial nos pontos finais. Em particular,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \varphi(A)-\varphi(B),
onde A é o ponto inicial do percurso e B o ponto final. (Isto segue do fato de \vec{F}\cdot d\vec{r} = -d\varphi e da integral do diferencial.)

Passo 4

Identificar claramente os pontos inicial e final do arco dado (pegando da equação da elipse):
  • Intercepto em x-positivo: (2,0).
  • Intercepto em y-positivo: (0,4).
Como o arco está no primeiro quadrante e é percorrido no sentido anti-horário, o ponto inicial é \displaystyle A=(2,0) e o ponto final é \displaystyle B=(0,4).

Passo 5

Calcular os valores da função potencial nos pontos inicial e final (mostrando contas passo a passo):
Calcule \varphi(A) com A=(2,0):
\varphi(2,0)=\frac{k}{2}\bigl(2^{2}+0^{2}\bigr)=\frac{k}{2}\cdot 4=2k.
Calcule \varphi(B) com B=(0,4):
\varphi(0,4)=\frac{k}{2}\bigl(0^{2}+4^{2}\bigr)=\frac{k}{2}\cdot 16=8k.
Pela propriedade do campo conservativo (Passo 3),
W=\varphi(A)-\varphi(B).

Passo 6

Breve verificação alternativa (didática): mostrar que a expressão do integrando é um diferencial exato. Note que
d\bigl(\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})\bigr)=x\,dx+y\,dy,
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\vec{F}\cdot d\vec{r} = -k\bigl(x\,dx+y\,dy\bigr) = -k\,d\bigl(\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})\bigr) = -d\varphi.
Integrando de A a B obtém-se novamente W=\varphi(A)-\varphi(B). Isso reforça que o cálculo via potencial é correto e evita parametrizações longas.

Resposta

-6k

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