Considere o campo de força variável
, onde
é uma constante. Se o ponto de aplicação desta força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse
, no primeiro quadrante, calcule o trabalho realizado por
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Força:
, onde é constante. Interpreto isso como os componentes . - Curva: a parte da elipse
que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido anti-horário. - Pontos notáveis da elipse (extraídos da equação da elipse): interceptos com os eixos são
e . Assim, a parte no primeiro quadrante liga a seguindo sentido anti-horário.
O que o enunciado pede:
- Calcular o trabalho realizado por
ao deslocar o ponto de aplicação ao longo dessa parte da elipse (isto é, a integral de linha de ao longo do arco do primeiro quadrante, orientado anti-horário).
Passo 2
Definição da grandeza que vamos calcular (fórmula do trabalho para força variável):
onde
é a curva (o arco da elipse no primeiro quadrante) com a orientação dada, e
.
Aqui temos
. Então explicitamente
Passo 3
Observação importante (conceito que facilita muito): campos do tipo
são campos conservativos, porque existem funções potenciais cujos gradientes dão
. Vamos construir essa potencial e usar o Teorema Fundamental para integrais de linha.
Proponho a função
Calcule o gradiente:
Portanto
Explicação do porquê isso facilita: para um campo da forma
(campo conservativo), a integral de linha entre dois pontos
e
depende apenas dos valores da potencial nos pontos finais. Em particular,
onde
é o ponto inicial do percurso e
o ponto final. (Isto segue do fato de
e da integral do diferencial.)
Passo 4
Identificar claramente os pontos inicial e final do arco dado (pegando da equação da elipse):
- Intercepto em
-positivo: . - Intercepto em
-positivo: .
Como o arco está no primeiro quadrante e é percorrido no sentido anti-horário, o ponto inicial é
e o ponto final é
.
Passo 5
Calcular os valores da função potencial nos pontos inicial e final (mostrando contas passo a passo):
Calcule
com
:
Calcule
com
:
Pela propriedade do campo conservativo (Passo 3),
Passo 6
Breve verificação alternativa (didática): mostrar que a expressão do integrando é um diferencial exato. Note que
logo
Integrando de
a
obtém-se novamente
. Isso reforça que o cálculo via potencial é correto e evita parametrizações longas.