Apenas inverta a ordem de integração da integral:
\int_{1}^{3} \int_{1-y}^{y-1} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{1}^{3}\int_{1-y}^{\,y-1} f(x,y)\,dx\,dy
e pede que se inverta a ordem de integração.
Informações importantes fornecidas:
  • A variável externa é y com y variando de 1 a 3.
  • Para cada y fixo, x varia de x=1-y até x=y-1.
  • A função integranda é f(x,y) (não é preciso conhecer f para inverter os limites).

Passo 2

Descrever geometricamente a região de integração R no plano (x,y).
As desigualdades dadas correspondem a
1\le y\le 3,\qquad 1-y \le x \le y-1.
Como y\ge 1, temos y-1\ge 0. As duas desigualdades para x podem ser escritas como
-(y-1)\le x \le y-1,
que é equivalente à única desigualdade
|x| \le y-1.
Assim R=\{(x,y)\mid 1\le y\le 3,\; |x|\le y-1\}.

Passo 3

Encontrar a projeção de R sobre o eixo x (ou seja, o intervalo possível de x).
Da condição |x|\le y-1 com y\le 3 segue |x|\le 3-1=2. Logo os valores de x que aparecem em R satisfazem
-2\le x\le 2.
Portanto a integração em x invertida terá como domínio externo x\in[-2,2].

Passo 4

Para um x fixo em [-2,2] determinar os valores de y tais que (x,y)\in R.
Da desigualdade |x|\le y-1 obtemos
y \ge |x|+1.
Além disso y sempre satisfaz y\le 3 (pela condição original). Portanto, para cada x\in[-2,2],
|x|+1 \le y \le 3.
Como alternativa sem valor absoluto, separamos os casos x\in[-2,0] e x\in[0,2]:
  • Se x\in[-2,0], então |x|=-x e y varia de -x+1 até 3.
  • Se x\in[0,2], então |x|=x e y varia de x+1 até 3.

Passo 5

Escrever a integral com a ordem de integração invertida. Duas formas equivalentes:
Forma direta usando valor absoluto:
\int_{-2}^{2}\int_{|x|+1}^{3} f(x,y)\,dy\,dx.
Forma sem valor absoluto, como soma de duas integrais:
\int_{-2}^{0}\int_{-x+1}^{3} f(x,y)\,dy\,dx \;+\; \int_{0}^{2}\int_{x+1}^{3} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{-2}^{2}\int_{|x|+1}^{3} f(x,y)\,dy\,dx
\int_{-2}^{0}\int_{-x+1}^{3} f(x,y)\,dy\,dx \;+\; \int_{0}^{2}\int_{x+1}^{3} f(x,y)\,dy\,dx

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