Apenas inverta a ordem de integração da integral:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede que se inverta a ordem de integração.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A variável externa é
com variando de a . - Para cada
fixo, varia de até . - A função integranda é
(não é preciso conhecer para inverter os limites).
Passo 2
Descrever geometricamente a região de integração
no plano
.
As desigualdades dadas correspondem a
As desigualdades dadas correspondem a
Como
, temos
. As duas desigualdades para
podem ser escritas como
que é equivalente à única desigualdade
Assim
.
Passo 3
Encontrar a projeção de
sobre o eixo
(ou seja, o intervalo possível de
).
Da condição com
segue
. Logo os valores de
que aparecem em
satisfazem
Da condição
Portanto a integração em
invertida terá como domínio externo
.
Passo 4
Para um
fixo em
determinar os valores de
tais que
.
Da desigualdade obtemos
Da desigualdade
Além disso
sempre satisfaz
(pela condição original). Portanto, para cada
,
Como alternativa sem valor absoluto, separamos os casos
e
:
- Se
, então e varia de até . - Se
, então e varia de até .
Passo 5
Escrever a integral com a ordem de integração invertida. Duas formas equivalentes:
Forma direta usando valor absoluto:
Forma sem valor absoluto, como soma de duas integrais: