Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de \mathrm{z}=4-\mathrm{x}-\mathrm{y}, inferiormente pela região R delimitada por \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=2, \mathrm{y}=0 e y=\frac{x}{4}+\frac{1}{2} \mathrm{e} lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R .
R: \frac{15}{4}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular o volume do sólido usando uma integral dupla.
Informações dadas (todas as que aparecem no enunciado):
A face superior do sólido é o gráfico do plano z=4-x-y.
A base do sólido é a região plana R no plano xy delimitada por
x=0,
x=2,
y=0,
y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e.
(No enunciado aparece também a anotação “R: \dfrac{15}{4}”; ela está listada como informação, mas a solução abaixo é feita diretamente a partir das equações de contorno de R.)
Passo 2
Ideia do método (explicando devagar como pensar na prova):
Para um sólido vertical cujas alturas estão dadas por uma função z=f(x,y) e cuja base no plano xy é a região R, o volume é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=4-x-y, logo
V=\iint_{R} (4-x-y)\,dA.
Como os limites de R são dados por 0\le x\le 2 e, para cada x, 0\le y\le \dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e, é natural usar a ordem dy\,dx (integrar em y primeiro, depois em x). Isso simplifica porque o limite superior de y é uma função simples de x.
Agora vamos calcular a integral interna em y passo a passo.
Passo 4
Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{2}e}(4-x-y)\,dy:
Primeiro integrar termo a termo em y:\int (4-x-y)\,dy = (4-x)\,y - \frac{y^{2}}{2} + C.Aqui (4-x) é tratado como constante em relação a y.
Avaliando de y=0 até y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e:(4-x)\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right) - \frac{1}{2}\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right)^{2}.
Passo 5
Desenvolver e simplificar a expressão obtida no passo anterior (mostrar contas detalhadas):
Primeiro o produto
(4-x)\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right) = x - \frac{x^{2}}{4} + 2e - \frac{e x}{2}.
\begin{aligned} &\left[x - \frac{x^{2}}{4} + 2e - \frac{e x}{2}\right] -\left[\frac{x^{2}}{32} + \frac{x e}{8} + \frac{e^{2}}{8}\right] \\\ &= x - \frac{9}{32}x^{2} - \frac{5e}{8}x + 2e - \frac{e^{2}}{8}. \end{aligned}
(Detalhe de combinação: -\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{32} = -\dfrac{8x^{2}+x^{2}}{32}=-\dfrac{9}{32}x^{2}; e os termos em x e somam -\dfrac{e x}{2}-\dfrac{x e}{8}=-\dfrac{5 e}{8}x.)
Portanto a integral interna já simplificada é
\int_{y=0}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{2}e}(4-x-y)\,dy = x - \frac{9}{32}x^{2} - \frac{5e}{8}x + 2e - \frac{e^{2}}{8}.
Passo 6
Integrar agora em x de 0 a 2:
V=\int_{0}^{2}\left(x - \frac{9}{32}x^{2} - \frac{5e}{8}x + 2e - \frac{e^{2}}{8}\right)dx.
Integramos termo a termo (mostrando cada antiderivada):