Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de \mathrm{z}=4-\mathrm{x}-\mathrm{y}, inferiormente pela região R delimitada por \mathrm{x}=0, \mathrm{x}=2, \mathrm{y}=0 e y=\frac{x}{4}+\frac{1}{2} \mathrm{e} lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R .
R: \frac{15}{4}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume do sólido usando uma integral dupla.
Informações dadas (todas as que aparecem no enunciado):
  • A face superior do sólido é o gráfico do plano z=4-x-y.
  • A base do sólido é a região plana R no plano xy delimitada por
    • x=0,
    • x=2,
    • y=0,
    • y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e.
  • (No enunciado aparece também a anotação “R: \dfrac{15}{4}”; ela está listada como informação, mas a solução abaixo é feita diretamente a partir das equações de contorno de R.)

Passo 2

Ideia do método (explicando devagar como pensar na prova):
  • Para um sólido vertical cujas alturas estão dadas por uma função z=f(x,y) e cuja base no plano xy é a região R, o volume é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
  • Aqui f(x,y)=4-x-y, logo
V=\iint_{R} (4-x-y)\,dA.
  • Como os limites de R são dados por 0\le x\le 2 e, para cada x, 0\le y\le \dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e, é natural usar a ordem dy\,dx (integrar em y primeiro, depois em x). Isso simplifica porque o limite superior de y é uma função simples de x.

Passo 3

Montando a integral iterada com os limites:
V=\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{2}e} (4-x-y)\,dy\right)dx.
Agora vamos calcular a integral interna em y passo a passo.

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{2}e}(4-x-y)\,dy:
  • Primeiro integrar termo a termo em y: \int (4-x-y)\,dy = (4-x)\,y - \frac{y^{2}}{2} + C.Aqui (4-x) é tratado como constante em relação a y.
  • Avaliando de y=0 até y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e: (4-x)\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right) - \frac{1}{2}\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right)^{2}.

Passo 5

Desenvolver e simplificar a expressão obtida no passo anterior (mostrar contas detalhadas):
  • Primeiro o produto
    (4-x)\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right) = x - \frac{x^{2}}{4} + 2e - \frac{e x}{2}.
    (Explicando: 4\cdot \dfrac{x}{4}=x, -x\cdot\dfrac{x}{4}=-\dfrac{x^{2}}{4}, 4\cdot\dfrac{1}{2}e=2e, -x\cdot\dfrac{1}{2}e=-\dfrac{e x}{2}.)
  • Agora o quadrado
    \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right)^{2} = \dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{x e}{4} + \dfrac{e^{2}}{4}.
    Dividindo por 2:
    \frac{1}{2}\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}e\right)^{2} = \dfrac{x^{2}}{32} + \dfrac{x e}{8} + \dfrac{e^{2}}{8}.
  • Subtraindo estas duas partes:
    \begin{aligned} &\left[x - \frac{x^{2}}{4} + 2e - \frac{e x}{2}\right] -\left[\frac{x^{2}}{32} + \frac{x e}{8} + \frac{e^{2}}{8}\right] \\\ &= x - \frac{9}{32}x^{2} - \frac{5e}{8}x + 2e - \frac{e^{2}}{8}. \end{aligned}
    (Detalhe de combinação: -\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{32} = -\dfrac{8x^{2}+x^{2}}{32}=-\dfrac{9}{32}x^{2}; e os termos em x e somam -\dfrac{e x}{2}-\dfrac{x e}{8}=-\dfrac{5 e}{8}x.)
Portanto a integral interna já simplificada é
\int_{y=0}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{2}e}(4-x-y)\,dy = x - \frac{9}{32}x^{2} - \frac{5e}{8}x + 2e - \frac{e^{2}}{8}.

Passo 6

Integrar agora em x de 0 a 2:
V=\int_{0}^{2}\left(x - \frac{9}{32}x^{2} - \frac{5e}{8}x + 2e - \frac{e^{2}}{8}\right)dx.
Integramos termo a termo (mostrando cada antiderivada):
  • \displaystyle \int_{0}^{2} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = 2.
  • \displaystyle \int_{0}^{2} -\frac{9}{32}x^{2}\,dx = -\frac{9}{32}\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = -\frac{9}{96}\cdot 8 = -\frac{3}{4}.
  • \displaystyle \int_{0}^{2} -\frac{5e}{8}x\,dx = -\frac{5e}{8}\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = -\frac{5e}{16}\cdot 4 = -\frac{5e}{4}.
  • \displaystyle \int_{0}^{2} 2e\,dx = 2e\cdot 2 = 4e.
  • \displaystyle \int_{0}^{2} -\frac{e^{2}}{8}\,dx = -\frac{e^{2}}{8}\cdot 2 = -\frac{e^{2}}{4}.
Somando todos os termos:
V = 2 - \frac{3}{4} - \frac{5e}{4} + 4e - \frac{e^{2}}{4}.

Passo 7

Agrupando e fatorando para apresentar de forma mais limpa:
  • Primeiro combinar as constantes numéricas: 2-\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}.
  • Combinar os termos em e: -\dfrac{5e}{4}+4e = \dfrac{11e}{4}.
Portanto
V=\frac{5}{4}+\frac{11e}{4}-\frac{e^{2}}{4} = \frac{1}{4}\left(5+11e-e^{2}\right).
Se desejar um valor numérico aproximado, com e\approx 2{,}7182818\ldots,
V\approx 6{,}8778\\ \text{(unidades cúbicas, aproximado)}.ú

Resposta

\dfrac{1}{4}\left(5+11e-e^{2}\right)

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