Considere o campo de força
.
(a) ( 1,5 ponto) Determine se o campo
é conservativo. Em caso positivo, determine uma função potencial para
;
(b) (1 ponto) Determine o trabalho realizado por
ao mover um objeto ao longo do arco da parábola
de
a
.
(a) ( 1,5 ponto) Determine se o campo
(b) (1 ponto) Determine o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de força
com
e pede: (a) verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial
; (b) calcular o trabalho de
ao longo da curva
de
a
.
Para isso vamos usar o teste de conservatividade em domínio simplesmente conexo e, depois, o Teorema Fundamental das Gradientes para o trabalho.
Para isso vamos usar o teste de conservatividade
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
em todo
, o campo é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em
:
Agora impomos
daí
e assim
.
Logo, uma função potencial é
Logo, uma função potencial é
Passo 4
Para o trabalho ao longo de qualquer curva de
a
em campo conservativo vale
Aqui
e
.
Passo 5
Calculamos
nos pontos (tomando
sem perda de generalidade):
Passo 6
O trabalho é
Resposta
(a)
é conservativo e um potencial é
(b) O trabalho ao longo de
de
a
é