Considere o campo de força \vec{F}(x, y)=\left(x+x^{2} y\right) \vec{i}+\left(\frac{x^{3}}{3}+y\right) \vec{j}.
(a) ( 1,5 ponto) Determine se o campo \vec{F} é conservativo. Em caso positivo, determine uma função potencial para \vec{F};
(b) (1 ponto) Determine o trabalho realizado por \vec{F} ao mover um objeto ao longo do arco da parábola y=2 x^{2} de (-1,2) a (2,8).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de força \vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j} com
P(x,y)=x+x^{2}y,
Q(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+y,
e pede: (a) verificar se \vec{F} é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial \varphi(x,y); (b) calcular o trabalho de \vec{F} ao longo da curva y=2x^{2} de (-1,2) a (2,8).
Para isso vamos usar o teste de conservatividade \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em domínio simplesmente conexo e, depois, o Teorema Fundamental das Gradientes para o trabalho.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x+x^{2}y\bigr)=x^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}+y\Bigr)=x^{2}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^{2}, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=x+x^{2}y.
Integrando em x:
\varphi(x,y)=\int\bigl(x+x^{2}y\bigr)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}y}{3}+h(y).
Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x^{3}}{3}+h'(y)\;=\;Q(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+y,
daí h'(y)=y e assim h(y)=\frac{y^{2}}{2}+C.
Logo, uma função potencial é
\varphi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}y}{3}+\frac{y^{2}}{2}+C.

Passo 4

Para o trabalho ao longo de qualquer curva de A a B em campo conservativo vale
W=\varphi\bigl(B\bigr)-\varphi\bigl(A\bigr).
Aqui A=(-1,2) e B=(2,8).

Passo 5

Calculamos \varphi nos pontos (tomando C=0 sem perda de generalidade):
\varphi(-1,2)=\frac{(-1)^{2}}{2}+\frac{(-1)^{3}\cdot 2}{3}+\frac{2^{2}}{2} =\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+2=\frac{11}{6},
\varphi(2,8)=\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}\cdot 8}{3}+\frac{8^{2}}{2} =2+\frac{64}{3}+32=\frac{166}{3}.

Passo 6

O trabalho é
W=\varphi(2,8)-\varphi(-1,2) =\frac{166}{3}-\frac{11}{6} =\frac{332-11}{6} =\frac{321}{6} =\frac{107}{2}.

Resposta

(a) \vec{F} é conservativo e um potencial é
\varphi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}y}{3}+\frac{y^{2}}{2}+C.
(b) O trabalho ao longo de y=2x^{2} de (-1,2) a (2,8) é
W=\frac{107}{2}.

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