( 1,5 ponto) Um arame tem o formato da parte da circunferência \gamma: x^{2}+y^{2}=25 situada no primeiro quadrante, a densidade no ponto (x, y) é \rho(x, y)=x e^{y}. Determine a massa do arame sabendo que é dada pela fórmula
\text { Massa }=\int_{C} \rho(x, y) d s

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame que é o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=25 no primeiro quadrante, com densidade \rho(x,y)=x e^{y}. Vamos usar o conceito de integral de linha para massa, ou seja
\text{Massa}=\int_{C}\rho(x,y)\,ds,
parametrizando o arco e calculando ds.

Passo 2

Parametrizamos o arco pela curva
x(t)=5\cos t,\quad y(t)=5\sin t,\quad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
Então
\frac{dx}{dt}=-5\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=5\cos t
e
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt =\sqrt{25\sin^{2}t+25\cos^{2}t}\,dt =5\,dt.

Passo 3

No integrando, \rho(x(t),y(t))=x(t)e^{y(t)}=5\cos t\,e^{5\sin t}. Logo a massa fica
\int_{C}\rho\,ds =\int_{0}^{\pi/2}\bigl(5\cos t\,e^{5\sin t}\bigr)\bigl(5\,dt\bigr) =25\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,e^{5\sin t}\,dt.

Passo 4

Fazemos a substituição u=5\sin t, de onde du=5\cos t\,dt. Quando t=0 temos u=0 e quando t=\tfrac{\pi}{2} temos u=5. Então
25\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,e^{5\sin t}\,dt =25\int_{0}^{5}e^{u}\,\frac{du}{5} =5\int_{0}^{5}e^{u}\,du.

Passo 5

Calculando a integral em u:
5\int_{0}^{5}e^{u}\,du =5\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{5} =5\bigl(e^{5}-1\bigr).

Resposta

A massa do arame é 5\bigl(e^{5}-1\bigr).

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