Considere o campo de forças
e seja
a curva fronteira da região retangular
e
, orientada no sentido anti-horário. Valcule o trabalho realizado por F ao longo de C .
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um campo de forças $ F(x, y) = \left(e^{y} + \cos x^{5}, \frac{x^{2}}{2} + x e^{y} + \sin y^{5} \right) $ e uma curva $ C $ que é a borda de um retângulo com os vértices em $ (0,0) $, $ (2,0) $, $ (2,1) $ e $ (0,1) $, percorrida no sentido anti-horário. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por $ F $ ao longo de $ C $. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva. Matematicamente, isso é representado por uma integral de linha:
Isso significa que estamos somando o efeito do campo de forças $ F $ ao longo de cada pedacinho da curva $ C $.
Passo 3
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha ao redor da curva $ C $ em uma integral dupla sobre a região $ D $ que $ C $ delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde $ P $ e $ Q $ são as componentes do campo de forças $ F = (P, Q) $.
Passo 4
Vamos identificar $ P $ e $ Q $ a partir do nosso campo de forças:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $.
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
Calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Agora, subtraímos essas derivadas conforme o Teorema de Green:
Passo 6
Com isso, nossa integral dupla fica:
Como a região $ D $ é um retângulo com $ x $ variando de 0 a 2 e $ y $ de 0 a 1, podemos escrever:
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a $ x $:
Agora, integramos esse resultado em relação a $ y $:
Resposta
O trabalho realizado por $ F $ ao longo de $ C $ é igual a $ 2 $ unidades de trabalho.