Considere o campo de forças F(x, y)=(e^y+cos x^5, x^22+x e^y+sen y^5) e seja C a curva fronteira da região retangular (0,0),(2,0),(2,1) e (0,1), orientada no sentido anti-horário. Valcule o trabalho realizado por F ao longo de C .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um campo de forças $ F(x, y) = \left(e^{y} + \cos x^{5}, \frac{x^{2}}{2} + x e^{y} + \sin y^{5} \right) $ e uma curva $ C $ que é a borda de um retângulo com os vértices em $ (0,0) $, $ (2,0) $, $ (2,1) $ e $ (0,1) $, percorrida no sentido anti-horário. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado por $ F $ ao longo de $ C $. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva. Matematicamente, isso é representado por uma integral de linha:
ointC F cdot dr
Isso significa que estamos somando o efeito do campo de forças $ F $ ao longo de cada pedacinho da curva $ C $.

Passo 3

Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar a integral de linha ao redor da curva $ C $ em uma integral dupla sobre a região $ D $ que $ C $ delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
C
Onde $ P $ e $ Q $ são as componentes do campo de forças $ F = (P, Q) $.

Passo 4

Vamos identificar $ P $ e $ Q $ a partir do nosso campo de forças:
P
Q
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $.

Passo 5

Calculando $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
partial Qpartial x
Calculando $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^22 + x e^y + sin y^5 ) = x + e^y
Agora, subtraímos essas derivadas conforme o Teorema de Green:
partial Ppartial y

Passo 6

Com isso, nossa integral dupla fica:
integral duplaD x , dx , dy
Como a região $ D $ é um retângulo com $ x $ variando de 0 a 2 e $ y $ de 0 a 1, podemos escrever:
D

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a $ x $:
x
Agora, integramos esse resultado em relação a $ y $:
integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2

Resposta

O trabalho realizado por $ F $ ao longo de $ C $ é igual a $ 2 $ unidades de trabalho.

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