Assinale cada alternativa abaixo como verdadeira ( V ) ou Falsa ( F ), e justifique sua resposta.
( ) Se F for um campo vetorial, então div F é um campo vetorial.
( ) Se F for um campo vetorial, então rot F é um campo vetorial.
( ) Se f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} tem derivadas parciais de todas as ordens contímuas, entào \operatorname{div}(\operatorname{rot} \nabla f)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações envolvendo operações de cálculo vetorial em \mathbb{R}^3: divergência ( \operatorname{div}), rotacional ( \operatorname{rot}, ou “curl”) e gradiente ( \nabla). Para decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa, vamos usar as definições dessas operações e uma identidade clássica de cálculo vetorial.

Passo 2

Analisando “Se F for um campo vetorial, então \operatorname{div}F é um campo vetorial.”
Definição: se F=(P,Q,R), então
\operatorname{div}F \;=\;\nabla\cdot F \;=\;\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Esse resultado é uma função escalar em cada ponto de \mathbb{R}^3, não um vetor. Logo, essa afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando “Se F for um campo vetorial, então \operatorname{rot}F é um campo vetorial.”
Definição: se F=(P,Q,R), então
\operatorname{rot}F \;=\;\nabla\times F =\begin{pmatrix} \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\\[6pt] \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\\[6pt] \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \end{pmatrix}.
O resultado é claramente um vetor em cada ponto de \mathbb{R}^3. Portanto, essa afirmação é verdadeira.]

Passo 4

Analisando “Se f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tem todas as derivadas parciais contínuas, então \operatorname{div}(\operatorname{rot}\,\nabla f)=0.”
Primeiro, \nabla f é o campo vetorial gradiente de f. Uma identidade padrão em cálculo vetorial diz que o rotacional do gradiente é o vetor zero:
\operatorname{rot}(\nabla f) =\nabla\times(\nabla f) =\mathbf{0}.
Em seguida, a divergência do vetor zero é o escalar zero:
\operatorname{div}(\mathbf{0})=0.
Logo, a terceira afirmação é verdadeira.

Resposta

(F) Se F for um campo vetorial, então \operatorname{div}F é um campo vetorial.
(V) Se F for um campo vetorial, então \operatorname{rot}F é um campo vetorial.
(V) Se f\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} tem derivadas parciais contínuas, então \operatorname{div}(\operatorname{rot}\,\nabla f)=0.

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