Considere o campo gradiente
determine a função potencial.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para determinar uma função potencial (ou seja, uma função cujo gradiente seja
).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O domínio implícito é todo
(pois
,
,
estão definidos em todo
).\n
Objetivo claro: encontrar tal que
Objetivo claro: encontrar
Passo 2
Conceito útil (explicado com calma): em uma região simplesmente conexa (como
), um campo vetorial
é gradiente (conservativo) se e somente se as derivadas parciais mistas coincidirem:
Isso vem da igualdade das derivadas mistas de
:
. Vamos verificar essa condição para ter segurança antes de procurar
.\n
Calcule . Como
, ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Calcule
Calcule
. Como
, ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Como
, a condição é satisfeita e então existe uma potencial
(no domínio inteiro).
Passo 3
Método prático para achar
: integrar uma das componentes em relação à sua variável natural e ajustar uma “constante” que pode depender da outra variável. Aqui eu começo integrando
em relação a
(porque
).\n
Integro em
, tratando
como constante:
Integro
Como
é constante em relação a
, sai multiplicando:
Expliquei: o resultado de integrar em
pode incluir uma “constante” de integração que depende de
; chamei essa função de
. Portanto, até agora temos
Passo 4
Agora determinamos
impondo que
seja igual a
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Essa derivada deve coincidir com
. Portanto
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Isso significa que
é uma constante (não depende de
). Chamemos essa constante de
. Logo
Passo 5
Concluímos que a função potencial geral é
onde
é uma constante real qualquer (isto reflete que potenciais são únicos a menos de uma constante aditiva).\n
Verificação rápida (útil na prova): calcule o gradiente de :
Verificação rápida (útil na prova): calcule o gradiente de
logo confere perfeitamente.