Considere o campo gradiente
F(x, y)=\left(F_{1}(x, y), F_{2}(x, y)\right)=\left(e^{x} \sin y, e^{x} \cos y\right)
determine a função potencial.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=\bigl(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)\bigr)=\bigl(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y\bigr)
e pede para determinar uma função potencial (ou seja, uma função cujo gradiente seja F).\n
Informações relevantes fornecidas:
F_{1}(x,y)=e^{x}\sin y,\qquad F_{2}(x,y)=e^{x}\cos y.
O domínio implícito é todo \mathbb{R}^{2} (pois e^{x}, \sin y, \cos y estão definidos em todo \mathbb{R}).\n
Objetivo claro: encontrar \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi(x,y)=\bigl(\partial_{x}\varphi,\partial_{y}\varphi\bigr)=F(x,y).

Passo 2

Conceito útil (explicado com calma): em uma região simplesmente conexa (como \mathbb{R}^{2}), um campo vetorial F=(F_{1},F_{2}) é gradiente (conservativo) se e somente se as derivadas parciais mistas coincidirem:
\partial_{y}F_{1}=\partial_{x}F_{2}.
Isso vem da igualdade das derivadas mistas de \varphi: \partial_{y}(\partial_{x}\varphi)=\partial_{x}(\partial_{y}\varphi). Vamos verificar essa condição para ter segurança antes de procurar \varphi.\n
Calcule \partial_{y}F_{1}. Como F_{1}(x,y)=e^{x}\sin y, ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\partial_{y}F_{1}(x,y)=e^{x}\cos y.
Calcule \partial_{x}F_{2}. Como F_{2}(x,y)=e^{x}\cos y, ao derivar em relação a x tratamos y como constante:
\partial_{x}F_{2}(x,y)=e^{x}\cos y.
Como \partial_{y}F_{1}=\partial_{x}F_{2}=e^{x}\cos y, a condição é satisfeita e então existe uma potencial \varphi (no domínio inteiro).

Passo 3

Método prático para achar \varphi: integrar uma das componentes em relação à sua variável natural e ajustar uma “constante” que pode depender da outra variável. Aqui eu começo integrando F_{1} em relação a x (porque F_{1}=\partial_{x}\varphi).\n
Integro F_{1} em x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int F_{1}(x,y)\,dx=\int e^{x}\sin y\,dx.
Como \sin y é constante em relação a x, sai multiplicando:
\int e^{x}\sin y\,dx=\sin y\int e^{x}\,dx=\sin y\;e^{x}+C(y).
Expliquei: o resultado de integrar em x pode incluir uma “constante” de integração que depende de y; chamei essa função de C(y). Portanto, até agora temos
\varphi(x,y)=e^{x}\sin y + C(y).

Passo 4

Agora determinamos C(y) impondo que \partial_{y}\varphi seja igual a F_{2}. Calcule \partial_{y}\varphi a partir da expressão encontrada:
\partial_{y}\varphi(x,y)=\partial_{y}\bigl(e^{x}\sin y + C(y)\bigr)=e^{x}\cos y + C'(y).
Essa derivada deve coincidir com F_{2}(x,y)=e^{x}\cos y. Portanto
e^{x}\cos y + C'(y)=e^{x}\cos y.
Subtraindo e^{x}\cos y dos dois lados obtemos
C'(y)=0.
Isso significa que C(y) é uma constante (não depende de y). Chamemos essa constante de k\in\mathbb{R}. Logo
C(y)=k.

Passo 5

Concluímos que a função potencial geral é
\varphi(x,y)=e^{x}\sin y + k,
onde k é uma constante real qualquer (isto reflete que potenciais são únicos a menos de uma constante aditiva).\n
Verificação rápida (útil na prova): calcule o gradiente de \varphi:
\partial_{x}\varphi=e^{x}\sin y=F_{1},\qquad \partial_{y}\varphi=e^{x}\cos y=F_{2},
logo confere perfeitamente.

Resposta

\varphi(x,y)=e^{x}\sin y + C

Exercícios relacionados