Determine a função potencial para o campo Considere o campo
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função potencial de um campo vetorial. As informações dadas são:
A pergunta explícita é: encontrar uma função escalar
tal que
Ou seja, determinar
com
e
.
Passo 2
Antes de procurar
, verificamos se o campo é conservativo (isto facilita muito na prova). Uma condição simples em
é a igualdade das derivadas cruzadas:
Calculemos cada uma:
Como
, a condição é satisfeita. Como o domínio natural do campo é todo
(simplesmente conexo), existe uma função potencial
.
Explicação rápida do porquê: se
existe então
. O recíproco vale em domínios simplesmente conexos: igualdade das derivadas cruzadas garante existência de
.
Passo 3
Agora construímos
. Método padrão: integrar
em relação a
(tratando
como constante) e adicionar uma função desconhecida de
, digamos
:
Façamos a integral:
Integramos cada termo (lembre:
é constante nesse passo):
Portanto:
Passo 4
Agora usamos a segunda condição
para determinar
. Calculemos
:
Essa expressão deve ser igual a
. Igualando:
Assim obtemos
Integrando em
dá
, constante real.
Passo 5
Portanto a função potencial (até uma constante aditiva) é
onde
. Para checar rapidamente, podemos calcular o gradiente de
:
logo confere.
Dica de prova: esse é o procedimento padrão — integrar uma componente, ajustar com função de outra variável, e impor a outra condição para achar essa função desconhecida. Se preferir, poderia integrar
em
e comparar; dá no mesmo.