Determine a função potencial para o campo Considere o campo
F(x, y)=\left(F_{1}(x, y), F_{2}(x, y)\right)=\left(3 x^{2}+2 y-y^{2} e^{x}, 2 x-2 y e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função potencial de um campo vetorial. As informações dadas são:
F(x,y)=\bigl(F_{1}(x,y),\,F_{2}(x,y)\bigr)=\bigl(3x^{2}+2y-y^{2}e^{x},\;2x-2y e^{x}\bigr).
A pergunta explícita é: encontrar uma função escalar \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi(x,y)=\biggl(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y}\biggr)=F(x,y).
Ou seja, determinar \varphi com \frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_{1} e \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_{2}.

Passo 2

Antes de procurar \varphi, verificamos se o campo é conservativo (isto facilita muito na prova). Uma condição simples em \mathbb{R}^{2} é a igualdade das derivadas cruzadas:
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \overset{?}{=} \frac{\partial F_{2}}{\partial x}.
Calculemos cada uma:
\frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2y-y^{2}e^{x}\bigr)=2-2y e^{x},
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x-2y e^{x}\bigr)=2-2y e^{x}.
Como \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}, a condição é satisfeita. Como o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^{2} (simplesmente conexo), existe uma função potencial \varphi.
Explicação rápida do porquê: se \varphi existe então \partial_{y}F_{1}=\partial_{y}\partial_{x}\varphi=\partial_{x}\partial_{y}\varphi=\partial_{x}F_{2}. O recíproco vale em domínios simplesmente conexos: igualdade das derivadas cruzadas garante existência de \varphi.

Passo 3

Agora construímos \varphi. Método padrão: integrar F_{1} em relação a x (tratando y como constante) e adicionar uma função desconhecida de y, digamos h(y):
\varphi(x,y)=\int F_{1}(x,y)\,dx+\;h(y).
Façamos a integral:
\int\bigl(3x^{2}+2y-y^{2}e^{x}\bigr)\,dx=\int 3x^{2}\,dx+\int 2y\,dx-\int y^{2}e^{x}\,dx.
Integramos cada termo (lembre: y é constante nesse passo):
\int 3x^{2}\,dx = x^{3},
\int 2y\,dx = 2xy,
\int y^{2}e^{x}\,dx = y^{2}e^{x}.
Portanto:
\varphi(x,y)=x^{3}+2xy-y^{2}e^{x}+h(y).

Passo 4

Agora usamos a segunda condição \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_{2} para determinar h(y). Calculemos \partial \varphi/\partial y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+2xy-y^{2}e^{x}+h(y)\bigr)=2x-2y e^{x}+h'(y).
Essa expressão deve ser igual a F_{2}(x,y)=2x-2y e^{x}. Igualando:
2x-2y e^{x}+h'(y)=2x-2y e^{x}.
Assim obtemos
h'(y)=0.
Integrando em y h(y)=C, constante real.

Passo 5

Portanto a função potencial (até uma constante aditiva) é
\varphi(x,y)=x^{3}+2xy-y^{2}e^{x}+C,
onde C\in\mathbb{R}. Para checar rapidamente, podemos calcular o gradiente de \varphi:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=3x^{2}+2y-y^{2}e^{x}=F_{1},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x-2y e^{x}=F_{2},
logo confere.
Dica de prova: esse é o procedimento padrão — integrar uma componente, ajustar com função de outra variável, e impor a outra condição para achar essa função desconhecida. Se preferir, poderia integrar F_{2} em y e comparar; dá no mesmo.

Resposta

\displaystyle \varphi(x,y)=x^{3}+2xy-y^{2}e^{x}+C

Exercícios relacionados