Considere o campo
determine a função potencial.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede para determinar uma função potencial (ou seja, uma função
tal que
).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Pergunta clara: achar
tal que
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma função potencial e o que precisamos verificar antes de procurá‑la.\n
Definição: é potencial de
se
. Isso significa que as três igualdades de derivadas parciais acima devem valer.\n
Uma forma prática de proceder é:
Definição:
Uma forma prática de proceder é:
- verificar que
é conservativo (isto é, que o rotacional de é nulo) — isso garante localmente a existência de ;\n - integrar uma componente de
parcialmente e ajustar constantes de integração que dependem das outras variáveis, usando as outras componentes de para determinar essas funções “constantes”.\n
Vou fazer os dois passos (checagem do rotacional como confirmação e, em seguida, a integração direta que produz).
Passo 3
Checagem do rotacional (para confirmar que podemos achar potencial).\n
Lembrando que o rotacional em coordenadas é
Lembrando que o rotacional em coordenadas é
Calculemos cada componente:\n
Primeira componente:
Primeira componente:
logo
Segunda componente:
logo
Terceira componente:
logo
Portanto
. Isso confirma que
é conservativo (pelo menos localmente em regiões simples), e então existe
com
.
Passo 4
Método de integração direta — começar integrando
em relação a
.\n
Temos
Temos
Integrando em
(tratando
e
como constantes ao integrar),
onde
é uma “constante” de integração com respeito a
, isto é, uma função que pode depender de
e
mas não de
.\n
Explicação curta: ao integrar uma derivada parcial em , qualquer termo que não dependa de
aparece como constante — aqui essa “constante” pode ser função das demais variáveis.
Explicação curta: ao integrar uma derivada parcial em
Passo 5
Usar a condição
para determinar
.\n
Calculamos a partir da expressão obtida:
Calculamos
Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Assim,
Subtraindo
dos dois lados:
Isso significa que
não depende de
; logo
, uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Usar a condição
para determinar
.\n
Temos agora
Temos agora
Calculamos a derivada parcial em
:
Isso deve ser igual a
. Portanto
Subtraindo
dos dois lados:
Logo
é constante:
, onde
é uma constante real.
Passo 7
Concluir e verificar rapidamente.\n
Juntando tudo obtemos
Juntando tudo obtemos
Verificação direta (rápida): calcular
:
que coincidem com
. Portanto
é realmente uma função potencial de
. Boa! Você agora tem a técnica: integrar uma componente, ajustar com funções “constantes” das outras variáveis e usar as demais componentes para determinar essas funções.