Considere o campo
F(x, y, z)=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right)=(y \sin z, x \sin z, x y \cos z) .
determine a função potencial.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y,z) = (F_1,F_2,F_3) = (y\sin z,\; x\sin z,\; xy\cos z)
e pede para determinar uma função potencial (ou seja, uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi = F).\n
Informações relevantes dadas:
F_1(x,y,z) = y\sin z,\qquad F_2(x,y,z) = x\sin z,\qquad F_3(x,y,z) = xy\cos z.
Pergunta clara: achar \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=F_2,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=F_3.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma função potencial e o que precisamos verificar antes de procurá‑la.\n
Definição: \varphi é potencial de F se \nabla\varphi=F. Isso significa que as três igualdades de derivadas parciais acima devem valer.\n
Uma forma prática de proceder é:
  1. verificar que F é conservativo (isto é, que o rotacional de F é nulo) — isso garante localmente a existência de \varphi;\n
  2. integrar uma componente de F parcialmente e ajustar constantes de integração que dependem das outras variáveis, usando as outras componentes de F para determinar essas funções “constantes”.\n
    Vou fazer os dois passos (checagem do rotacional como confirmação e, em seguida, a integração direta que produz \varphi).

Passo 3

Checagem do rotacional (para confirmar que podemos achar potencial).\n
Lembrando que o rotacional em coordenadas é
\operatorname{curl}F = \nabla\times F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Calculemos cada componente:\n
Primeira componente:
\frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy\cos z)=x\cos z,
\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x\sin z)=x\cos z,
logo
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=x\cos z - x\cos z = 0.\n
Segunda componente:
\frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y\sin z)=y\cos z,
\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy\cos z)=y\cos z,
logo
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=y\cos z - y\cos z = 0.\n
Terceira componente:
\frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x\sin z)=\sin z,
\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y\sin z)=\sin z,
logo
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=\sin z - \sin z = 0.\n
Portanto \operatorname{curl}F=0. Isso confirma que F é conservativo (pelo menos localmente em regiões simples), e então existe \varphi com \nabla\varphi=F.

Passo 4

Método de integração direta — começar integrando \frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1 em relação a x.\n
Temos
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = y\sin z.
Integrando em x (tratando y e z como constantes ao integrar),
\varphi(x,y,z) = \int y\sin z\;dx = xy\sin z + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração com respeito a x, isto é, uma função que pode depender de y e z mas não de x.\n
Explicação curta: ao integrar uma derivada parcial em x, qualquer termo que não dependa de x aparece como constante — aqui essa “constante” pode ser função das demais variáveis.

Passo 5

Usar a condição \frac{\partial\varphi}{\partial y}=F_2 para determinar g(y,z).\n
Calculamos \frac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(xy\sin z + g(y,z)\big) = x\sin z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Mas sabemos que isso deve ser igual a F_2 = x\sin z. Assim,
x\sin z + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = x\sin z.
Subtraindo x\sin z dos dois lados:
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = 0.
Isso significa que g não depende de y; logo g(y,z)=h(z), uma função que depende apenas de z.

Passo 6

Usar a condição \frac{\partial\varphi}{\partial z}=F_3 para determinar h(z).\n
Temos agora
\varphi(x,y,z) = xy\sin z + h(z).
Calculamos a derivada parcial em z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(xy\sin z + h(z)\big) = xy\cos z + h'(z).
Isso deve ser igual a F_3 = xy\cos z. Portanto
xy\cos z + h'(z) = xy\cos z.
Subtraindo xy\cos z dos dois lados:
h'(z) = 0.
Logo h é constante: h(z)=C, onde C é uma constante real.

Passo 7

Concluir e verificar rapidamente.\n
Juntando tudo obtemos
\varphi(x,y,z) = xy\sin z + C.
Verificação direta (rápida): calcular \nabla\varphi:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y\sin z,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x\sin z,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=xy\cos z,
que coincidem com F_1,F_2,F_3. Portanto \varphi é realmente uma função potencial de F. Boa! Você agora tem a técnica: integrar uma componente, ajustar com funções “constantes” das outras variáveis e usar as demais componentes para determinar essas funções.

Resposta

\varphi(x,y,z)=xy\sin z + C

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