Calcule
sendo
o segmento
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha da 1-forma
ao longo do segmento
que vai do ponto
até o ponto
. Informações dadas que vamos usar:
- A 1-forma é
. - O caminho
é o segmento de reta entre e . - Precisamos calcular
.
Passo 2
Vamos parametrizar o segmento por um parâmetro
usando interpolação linear entre os pontos iniciais e finais. Sejam
Explicação do porquê: um segmento de
a
pode ser escrito como
. Aqui
e
crescem de
a
(variação
) e
de
a
(variação
), então as expressões acima seguem essa ideia.
Passo 3
Derivamos a parametrização em relação a
:
Lembrete didático: a integral de linha de uma 1-forma
ao longo de
é
Aqui
,
e
. Vou aplicar essa fórmula.
Passo 4
Substituindo
e as funções paramétricas, o integrando fica
Agora substituímos as expressões:
Passo 5
Somando os dois termos obtemos o integrando completo:
Fatoramos
:
Expandindo para facilitar a integração:
Passo 6
Agora integramos em
de
a
:
Calculamos primitivadas termo a termo:
Portanto a primitiva é
.
Passo 7
Avaliaremos a primitiva entre
e
:
Somando em fração: