Calcule \int_{\sigma} x z d x-y d z sendo \sigma o segmento (1,1,2) a (3,3,3).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha da 1-forma \;x z\,dx - y\,dz\; ao longo do segmento \sigma que vai do ponto (1,1,2) até o ponto (3,3,3). Informações dadas que vamos usar:
  • A 1-forma é \omega = x z\,dx - y\,dz.
  • O caminho \sigma é o segmento de reta entre (1,1,2) e (3,3,3).
  • Precisamos calcular \displaystyle \int_{\sigma} x z\,dx - y\,dz.

Passo 2

Vamos parametrizar o segmento por um parâmetro t\in[0,1] usando interpolação linear entre os pontos iniciais e finais. Sejam
x(t)=1+2t,\qquad y(t)=1+2t,\qquad z(t)=2+t,\qquad 0\le t\le 1.
Explicação do porquê: um segmento de (x_0,y_0,z_0) a (x_1,y_1,z_1) pode ser escrito como (1-t)(x_0,y_0,z_0)+t(x_1,y_1,z_1). Aqui x e y crescem de 1 a 3 (variação +2) e z de 2 a 3 (variação +1), então as expressões acima seguem essa ideia.

Passo 3

Derivamos a parametrização em relação a t:
x'(t)=2,\qquad y'(t)=2,\qquad z'(t)=1.
Lembrete didático: a integral de linha de uma 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz ao longo de \mathbf{r}(t) é
\int_{t_0}^{t_1}\big(P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)\big)\,dt.
Aqui P(x,y,z)=x z, Q(x,y,z)=0 e R(x,y,z)=-y. Vou aplicar essa fórmula.

Passo 4

Substituindo P,Q,R e as funções paramétricas, o integrando fica
P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q\cdot y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t) = x(t)z(t)\,x'(t) + 0 - y(t)\,z'(t).
Agora substituímos as expressões:
x(t)z(t)\,x'(t) = (1+2t)(2+t)\cdot 2,
-y(t)\,z'(t)=-(1+2t)\cdot 1 = -(1+2t).

Passo 5

Somando os dois termos obtemos o integrando completo:
(1+2t)\big(2(2+t)\big) - (1+2t).
Fatoramos (1+2t):
(1+2t)\big(2(2+t)-1\big)=(1+2t)\big(4+2t-1\big)=(1+2t)(3+2t).
Expandindo para facilitar a integração:
(1+2t)(3+2t)=3+8t+4t^2.

Passo 6

Agora integramos em t de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (3+8t+4t^{2})\,dt.
Calculamos primitivadas termo a termo:
\int 3\,dt = 3t,\qquad \int 8t\,dt = 4t^{2},\qquad \int 4t^{2}\,dt = \tfrac{4}{3}t^{3}.
Portanto a primitiva é 3t+4t^{2}+\tfrac{4}{3}t^{3}.

Passo 7

Avaliaremos a primitiva entre t=0 e t=1:
\Big[3t+4t^{2}+\tfrac{4}{3}t^{3}\Big]_{0}^{1} = 3+4+\tfrac{4}{3} = 7+\tfrac{4}{3}.
Somando em fração:
7+\tfrac{4}{3}=\tfrac{21}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{25}{3}.

Resposta

\tfrac{25}{3}

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