Considere o campo
e seja
a parte da esfera unitária que está acima do plano
, isto é,
Se
é a normal exterior de
, calcule
de duas formas distintas
(i) Calculando uma integral de linha.
(ii) Calculando uma integral de superfície;
R.
.
(i) Calculando uma integral de linha.
(ii) Calculando uma integral de superfície;
R.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de superfície
onde
e
é a semiesfera unitária
,
, com
sendo a normal exterior ao semiesólido. Vamos usar dois métodos:
- Teorema de Stokes, convertendo em integral de linha sobre a curva de contorno
. - Integração direta de
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Calculamos
. Com
,
Aqui
Logo
Passo 3
(i) Pelo Teorema de Stokes vale
A curva
é o círculo
,
, orientado no sentido anti-horário visto de cima (eixo
).
Parametrização:
Passo 4
Em
,
Logo
Então
Separando termos:
Portanto pelo método de linha obtemos
.
Passo 5
(ii) Cálculo direto. Em cada ponto de
a normal unitária exterior é
pois a esfera tem raio
. Então
O elemento de área de
em coordenadas esféricas
é
com
e
, e
. Assim