Considere o campo F=\left(2 x-y,-y z^{2},-y^{2} z\right) e seja S a parte da esfera unitária que está acima do plano x y, isto é,
S=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geqslant 0\right\} .
Se n é a normal exterior de S, calcule \int_{S}\langle\operatorname{rot} F, n\rangle de duas formas distintas
(i) Calculando uma integral de linha.
(ii) Calculando uma integral de superfície;
R. \pi.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de superfície
\iint_{S}\langle\operatorname{rot}F,n\rangle\,dS,
onde F=(2x-y,\,-y z^{2},\,-y^{2}z) e S é a semiesfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z\ge0, com n sendo a normal exterior ao semiesólido. Vamos usar dois métodos:
  1. Teorema de Stokes, convertendo em integral de linha sobre a curva de contorno \partial S.
  2. Integração direta de \operatorname{rot}F\cdot n em coordenadas esféricas.

Passo 2

Calculamos \operatorname{rot}F=\nabla\times F. Com F=(P,Q,R),
\operatorname{rot}F =\bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\bigr).
Aqui
R_{y}=\frac{\partial(-y^{2}z)}{\partial y}=-2yz,\quad Q_{z}=\frac{\partial(-yz^{2})}{\partial z}=-2yz
P_{z}=0,\;R_{x}=0,\quad Q_{x}=0,\;P_{y}=-1.
Logo
\operatorname{rot}F=(0,0,\,0-(-1))=(0,0,1).

Passo 3

(i) Pelo Teorema de Stokes vale
\iint_{S}\langle\operatorname{rot}F,n\rangle\,dS =\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf r.
A curva \partial S é o círculo x^{2}+y^{2}=1, z=0, orientado no sentido anti-horário visto de cima (eixo +z).
Parametrização:
\mathbf r(t)=(\cos t,\;\sin t,\;0),\quad t\in[0,2\pi],
d\mathbf r=(-\sin t,\;\cos t,\;0)\,dt.

Passo 4

Em z=0,
F=(2x-y,\;0,\;0).
Logo
F(\mathbf r(t))\cdot d\mathbf r =(2\cos t-\sin t)(-\sin t)\,dt =(-2\cos t\sin t+\sin^{2}t)\,dt.
Então
\oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-2\cos t\sin t+\sin^{2}t\bigr)\,dt.
Separando termos:
\int_{0}^{2\pi}-2\cos t\sin t\,dt =-\int_{0}^{2\pi}\sin2t\,dt=0,
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =\pi.
Portanto pelo método de linha obtemos \pi.

Passo 5

(ii) Cálculo direto. Em cada ponto de S a normal unitária exterior é
n=(x,y,z),
pois a esfera tem raio 1. Então
\langle\operatorname{rot}F,n\rangle =(0,0,1)\cdot(x,y,z)=z.
O elemento de área de S em coordenadas esféricas (r=1,\theta,\varphi) é
dS=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi,
com \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \varphi\in[0,2\pi], e z=\cos\theta. Assim
\iint_{S}z\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =2\pi\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

Exercícios relacionados