Use a regra da cadeia para achar \frac{d z}{d t} ou \frac{d w}{d t}
(b) z=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}, \quad x=t, \quad y=\cos t

Passo 1

O enunciado dá a função
z = \sqrt{1 + x^2 + y^2}
com as relações de variável
x = t, \quad y = \cos t
e pede \tfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e a y, e das derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais. Escrevemos
z = (1 + x^2 + y^2)^{\tfrac12}.
Seja u = 1 + x^2 + y^2. Então z = u^{1/2} e
\frac{dz}{du} = \frac{1}{2\,u^{1/2}}.
Como \partial u/\partial x = 2x e \partial u/\partial y = 2y, pela regra da cadeia interna temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{dz}{du}\,\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}.

Passo 3

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis,
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x e y em função de t:
\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t.
Substituindo em \tfrac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}\cdot 1 + \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}\cdot(-\sin t).

Passo 5

Por fim, voltamos às expressões x = t e y = \cos t. Assim,
\frac{dz}{dt} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2 + \cos^2 t}} - \frac{\cos t\,\sin t}{\sqrt{1 + t^2 + \cos^2 t}} = \frac{t - \sin t\,\cos t}{\sqrt{1 + t^2 + \cos^2 t}}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{t - \sin t\,\cos t}{\sqrt{1 + t^2 + \cos^2 t}}.

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