( \mathbf{4 , 0} ptos) Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{2 \pi} \frac{3}{4+3 \cos \theta} d \theta

Passo 1

Resumindo, precisamos calcular a integral
\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4+3\cos\theta}\,d\theta.
O conteúdo aqui é a integral de uma função periódica do tipo 1/(a+b\cos\theta), e vamos usar a fórmula padrão para esse caso.

Passo 2

A fórmula conhecida é
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \quad\text{para }a>|b|.

Passo 3

No nosso problema, temos a=4 e b=3 com 4>3. Assim,
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{4+3\cos\theta} =\frac{2\pi}{\sqrt{4^2-3^2}} =\frac{2\pi}{\sqrt{7}}.
Multiplicando por 3, obtemos
\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4+3\cos\theta}\,d\theta =3\cdot\frac{2\pi}{\sqrt{7}} =\frac{6\pi}{\sqrt{7}}.

Resposta

\displaystyle \frac{6\pi}{\sqrt{7}}

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