( \mathbf{4 , 0} ptos) Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{\infty} \frac{3 x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{3x^2}{1+x^4}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo aqui é o uso de uma fórmula padrão para integrais da forma
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x^b}\,\mathrm{d}x,
que se resolve usando funções trigonométricas (seno) ou a relação com a função Beta/Gamma.

Passo 2

Extraímos o fator constante 3:
\int_{0}^{\infty} \frac{3x^2}{1+x^4}\,\mathrm{d}x =3\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{1+x^4}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Reconhecemos a integral
I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x^b}\,\mathrm{d}x =\frac{\pi}{b\,\sin\!\bigl(\tfrac{a\pi}{b}\bigr)},
válida para 0<a<b. No nosso caso temos a-1=2, logo a=3, e b=4. Assim,
\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{1+x^4}\,\mathrm{d}x =\frac{\pi}{4\,\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)} =\frac{\pi}{4\cdot\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}.

Passo 4

Voltando à integral original, multiplicamos por 3:
3\cdot\frac{\pi}{2\sqrt2} =\frac{3\pi}{2\sqrt2} =\frac{3\sqrt2\,\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{2\sqrt2} (que também pode ser escrito como \displaystyle \frac{3\sqrt2\,\pi}{4}).

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