Considere um campo \mathbf{D}=3 \cdot x^{2} \cdot z^{4} \cdot \mathbf{a}_{\mathbf{y}}+2000 \cdot x^{3} \cdot y \cdot z^{3} \cdot \mathbf{a}_{\mathbf{z}} \mathrm{C} / \mathrm{m} 2. Encontre o fluxo elétrico total através de um cubo definido por [0 \leq \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} \leq \mathrm{N} \mathrm{m}], fazendo o cálculo (a) por uma integral de superfície e (b) por uma integral de volume.

Passo 1

O enunciado dá o campo de densidade de deslocamento elétrico \mathbf{D}=3\,x^{2}z^{4}\,\mathbf{a}_{y}+2000\,x^{3}y\,z^{3}\,\mathbf{a}_{z}
e um cubo definido por
0\le x\le N,\quad 0\le y\le N,\quad 0\le z\le N.
Queremos o fluxo total de \mathbf{D} através da superfície do cubo de duas formas: (a) fazendo diretamente a integral de superfície, e (b) aplicando o teorema da divergência (integral de volume).

Passo 2

Para (a), lembramos que o fluxo através da superfície fechada S é
\Phi = \iint_{S}\mathbf{D}\cdot\mathbf{n}\,dS
que se decompõe em seis faces: x=0, x=N, y=0, y=N, z=0 e z=N. Em cada face calculamos \mathbf{D}\cdot\mathbf{n} e integramos sobre a área correspondente.

Passo 3

Faces x=0 e x=N: o vetor normal é \pm\mathbf{a}_{x}, mas \mathbf{D} não tem componente em x. Logo
\Phi_{x\text{-faces}}=0.

Passo 4

Faces y=0 e y=N: o vetor normal em y=0 é -\mathbf{a}_{y} e em y=N é +\mathbf{a}_{y}. Como \mathbf{D}_{y}=3\,x^{2}z^{4} independe de y, temos
\Phi_{y=0}=-\int_{0}^{N}\!\!\int_{0}^{N}3\,x^{2}z^{4}\,dz\,dx, \quad \Phi_{y=N}=+\int_{0}^{N}\!\!\int_{0}^{N}3\,x^{2}z^{4}\,dz\,dx,
cuja soma é zero. Logo
\Phi_{y\text{-faces}}=0.

Passo 5

Faces z=0 e z=N: o normal em z=0 é -\mathbf{a}_{z} e em z=N é +\mathbf{a}_{z}. Note que \mathbf{D}_{z}=2000\,x^{3}y\,z^{3}. Em z=0 isso vale zero, então \Phi_{z=0}=0. Em z=N:
\Phi_{z=N} =\int_{0}^{N}\!\!\int_{0}^{N}2000\,x^{3}y\,N^{3}\,dx\,dy =2000\,N^{3}\Bigl(\int_{0}^{N}x^{3}dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{N}y\,dy\Bigr).
Calculando as integrais:
\int_{0}^{N}x^{3}dx=\frac{N^{4}}{4},\quad \int_{0}^{N}y\,dy=\frac{N^{2}}{2},
logo
\Phi_{z=N} =2000\,N^{3}\,\frac{N^{4}}{4}\,\frac{N^{2}}{2} =2000\,\frac{N^{9}}{8} =250\,N^{9}.

Passo 6

Somando todas as faces, o fluxo de superfície total é
\Phi_{\text{superfície}}=0+0+250\,N^{9}=250\,N^{9}.í

Passo 7

Para (b), aplicamos o teorema da divergência (Gauss):
\Phi = \iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{D}\,dV.
Calculamos
\nabla\cdot\mathbf{D} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3\,x^{2}z^{4}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2000\,x^{3}y\,z^{3}\bigr) =0 + 2000\,x^{3}y\cdot3\,z^{2} =6000\,x^{3}y\,z^{2}.

Passo 8

Agora integramos em 0\le x,y,z\le N:
\Phi_{\text{volume}} =\int_{0}^{N}\!\!\int_{0}^{N}\!\!\int_{0}^{N}6000\,x^{3}y\,z^{2}\,dx\,dy\,dz =6000\Bigl(\frac{N^{4}}{4}\Bigr)\Bigl(\frac{N^{2}}{2}\Bigr)\Bigl(\frac{N^{3}}{3}\Bigr) =250\,N^{9}.
Confirma que os dois métodos coincidem.

Resposta

O fluxo elétrico total através do cubo é
\boxed{250\,N^{9}\text{ \text{(C)}}}.

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