Considere um campo
. Encontre o fluxo elétrico total através de um cubo definido por
, fazendo o cálculo (a) por uma integral de superfície e (b) por uma integral de volume.
Passo 1
O enunciado dá o campo de densidade de deslocamento elétrico
e um cubo definido por
e um cubo definido por
Queremos o fluxo total de
através da superfície do cubo de duas formas: (a) fazendo diretamente a integral de superfície, e (b) aplicando o teorema da divergência (integral de volume).
Passo 2
Para (a), lembramos que o fluxo através da superfície fechada
é
que se decompõe em seis faces:
,
,
,
,
e
. Em cada face calculamos
e integramos sobre a área correspondente.
Passo 3
Faces
e
: o vetor normal é
, mas
não tem componente em
. Logo
Passo 4
Faces
e
: o vetor normal em
é
e em
é
. Como
independe de
, temos
cuja soma é zero. Logo
Passo 5
Faces
e
: o normal em
é
e em
é
. Note que
. Em
isso vale zero, então
. Em
:
Calculando as integrais:
logo
Passo 6
Somando todas as faces, o fluxo de superfície total é
Passo 7
Para (b), aplicamos o teorema da divergência (Gauss):
Calculamos
Passo 8
Agora integramos em
:
Confirma que os dois métodos coincidem.
Resposta
O fluxo elétrico total através do cubo é