Considere que a função de onda
\psi(x, t)=A \cos (\kappa x-\omega t)+i A \operatorname{sen}(\kappa x-\omega t)
é solução para a equação de Schrodinger e mostre que isso só é verdade se a energia potencial é dada por V=\hbar \omega-\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(x,t)=A\cos\bigl(\kappa x-\omega t\bigr)+i\,A\sin\bigl(\kappa x-\omega t\bigr)
e pede que mostremos que ela satisfaz a equação de Schrödinger
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V\psi
apenas se
V=\hbar\omega-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\,.
Para isso, vamos usar derivadas de funções trigonométricas e a identidade de Euler.

Passo 2

Usamos a identidade de Euler para reescrever
\psi(x,t) =A\bigl[\cos\theta+i\sin\theta\bigr] =Ae^{\,i\theta} \quad\text{com}\quad \theta=\kappa x-\omega t.

Passo 3

Calculamos a derivada temporal de \psi:
\frac{\partial\psi}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(Ae^{\,i(\kappa x-\omega t)}\bigr) =A\bigl(i\,(-\omega)\bigr)e^{\,i(\kappa x-\omega t)} =-i\omega\psi.
Multiplicando por i\hbar fica
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\hbar\omega\,\psi.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada espacial de \psi:
\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(i\kappa Ae^{\,i(\kappa x-\omega t)}\bigr) =i\kappa\bigl(i\kappa\bigr)Ae^{\,i(\kappa x-\omega t)} =-\kappa^2\psi.
Então
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} =\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\,\psi.

Passo 5

Substituindo na equação de Schrödinger:
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V\psi \;\Longrightarrow\; \hbar\omega\,\psi =\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\,\psi+V\psi.

Passo 6

Como \psi\neq0, podemos cancelar em ambos os lados e obter
V=\hbar\omega-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}.

Resposta

V=\hbar\omega-\frac{\hbar^2 k^2}{2m},
onde identificamos k=\kappa.

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