Mostre que
\frac{d\langle p\rangle}{d t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos o teorema de Ehrenfest em uma dimensão, ou seja, provar que
\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \bigl\langle -\tfrac{\partial V}{\partial x}\bigr\rangle,
onde \langle p\rangle é o valor esperado do operador momento \hat p = -\,i\hbar\,\partial_{x} e V(x) é o potencial. Vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e propriedades de integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a derivada temporal de \langle p\rangle:
\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,t)\,\bigl(-\,i\hbar\,\partial_{x}\bigr)\,\psi(x,t)\,dx.
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\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty}\Bigl[\partial_{t}\psi^*(x,t)\bigr(-\,i\hbar\,\partial_{x}\bigr)\psi + \psi^*\bigr(-\,i\hbar\,\partial_{x}\bigr)\partial_{t}\psi\Bigr]dx.

Passo 3

Usamos a equação de Schrödinger
i\hbar\,\partial_{t}\psi = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi + V(x)\,\psi,
e sua complexa-conjugada
-\,i\hbar\,\partial_{t}\psi^* = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_{x}^{2}\psi^* + V(x)\,\psi^*.
Substituímos \partial_{t}\psi e \partial_{t}\psi^* na expressão de \tfrac{d\langle p\rangle}{dt}, separando os termos cinético e de potencial.

Passo 4

Os termos cinéticos envolvem \partial_{x}^{2}\psi e \partial_{x}^{2}\psi^*. Após reorganizar e usar integração por partes duas vezes, as contribuições de contorno em x\to\pm\infty anulam-se sob a hipótese de \psi\to0. Portanto, a parte cinética dá zero:
\text{(termos cinéticos)} = 0.é

Passo 5

Fica apenas o termo de potencial. Após substituir e rearranjar, obtemos
\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \frac{-i\hbar}{i\hbar} \int_{-\infty}^{\infty}\Bigl[\psi^*\,\partial_{x}(V\psi) - (\partial_{x}\psi^*)\,V\,\psi\Bigr]dx = -\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^{2}\,\partial_{x}V\,dx = \bigl\langle -\tfrac{\partial V}{\partial x}\bigr\rangle.

Resposta

\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \bigl\langle -\tfrac{\partial V}{\partial x}\bigr\rangle.

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