Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos o teorema de Ehrenfest em uma dimensão, ou seja, provar que
onde
é o valor esperado do operador momento
e
é o potencial. Vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e propriedades de integração por partes.
Passo 2
Escrevemos a derivada temporal de
:
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Passo 3
Usamos a equação de Schrödinger
e sua complexa-conjugada
Substituímos
e
na expressão de
, separando os termos cinético e de potencial.
Passo 4
Os termos cinéticos envolvem
e
. Após reorganizar e usar integração por partes duas vezes, as contribuições de contorno em
anulam-se sob a hipótese de
. Portanto, a parte cinética dá zero:
Passo 5
Fica apenas o termo de potencial. Após substituir e rearranjar, obtemos