Considere uma carga pontual \mathbf{q}_{1} no centro de uma esfera carregada com carga \mathbf{q}_{2}, com uma densidade volumétrica de carga boldsymbol{\rho} constante (uniforme).
Calcule:
(A) O campo elétrico para um raio \mathrm{R}_{1}<\mathrm{r}.

Dica:

Área de uma esfera: V=4 . p i . R^{2}
Volume de uma esfera: V=(4 / 3) . p i . R^{3}
Densidade volumétrica \rho=d Q / d V.
Elemento de volume dV de uma esfera =\mathrm{dV}=4 .(\mathrm{pi}) . \mathrm{r}^{2}

Passo 1

O enunciado diz que há uma carga pontual \mathbf{q}_{1} no centro de uma esfera de raio R_{1} carregada com carga total \mathbf{q}_{2}, com densidade volumétrica uniforme \rho. Queremos o campo elétrico para um ponto radial a uma distância r tal que r>R_{1}. Vamos usar a Lei de Gauss e a relação \rho=dQ/dV.

Passo 2

Como a densidade é uniforme, a carga da esfera de raio R_{1} é
q_{2} \;=\;\rho\;V_{\text{esfera}} \;=\;\rho\;\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}.

Passo 3

Para r>R_{1}, uma superfície gaussiana esfera de raio r envolve toda a carga pontual q_{1} e toda a carga da esfera q_{2}. Logo, a carga total encerrada é
Q_{\mathrm{enc}} \;=\; q_{1} \;+\; q_{2}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;E(r)\,\bigl(4\pi r^{2}\bigr) \;=\;\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) \;=\; \frac{q_{1}+q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{q_{1}+q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\;\hat{r}\quad\text{para }r>R_{1}.

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