1. Considere o campo \vec{F}=(-y, x, 0).
  • Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{l} em torno de uma circunferência de raio R no plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a circulação do campo \vec{F}=(-y,x,0) ao longo de uma circunferência C de raio R no plano xy. Esse tipo de integral é
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{l},
e podemos resolvê-la parametrizando C.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência por
\vec r(t) = \bigl(R\cos t,\;R\sin t,\;0\bigr), \quad t\in[0,2\pi],
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d\vec r = \bigl(-R\sin t,\;R\cos t,\;0\bigr)\,dt.

Passo 3

Em cada ponto da curva,
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(-\,R\sin t,\;R\cos t,\;0\bigr).
O produto escalar com d\vec r é
\vec F\cdot d\vec r = (-R\sin t)(-R\sin t)\,dt + (R\cos t)(R\cos t)\,dt = R^2(\sin^2t+\cos^2t)\,dt = R^2\,dt.

Passo 4

Basta integrar de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec l = \int_{0}^{2\pi} R^2\,dt = 2\pi R^2.

Resposta

\oint_{C}\vec F\cdot d\vec l = 2\pi R^2.

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