Considere o campo de velocidades \mathbf{v} de um fluido em movimento. Com base no sinal do divergente ( \nabla \cdot \mathbf{v} ) em um ponto específico, classifique as situações abaixo como é uma fonte ou é um sumidouro. Justifique:
Um balão de festa que está sendo inflado através de um pequeno furo (considerando o ponto do furo sob a perspectiva do ar que entra no balão):

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar, pelo sinal do divergente \nabla\cdot\mathbf{v} num ponto específico (o ponto do furo), se a situação é uma fonte ou um sumidouro e justificar.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Há ar fluindo através de um pequeno furo para dentro do balão; ou seja, no entorno imediato do ponto do furo o campo de velocidades \mathbf{v} aponta, em média, no sentido de entrada para dentro do balão.
  • A pergunta é sobre o ponto do furo “sob a perspectiva do ar que entra no balão” — isto é, estamos analisando o fluxo que converge para esse ponto e passa para o interior do balão.

Passo 2

Definição e significado físico do divergente:
\nabla\cdot\mathbf{v}=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Explicando cada símbolo:
  • \nabla\cdot\mathbf{v} é o divergente do campo de velocidades \mathbf{v} no ponto em questão.
  • V é um volume pequeno que contém o ponto; \partial V é a superfície que delimita esse volume.
  • \mathbf{n} é o vetor normal externo à superfície \partial V.
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é a componente normal da velocidade através da superfície; \oint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS é o fluxo líquido (taxa volumétrica) que sai do volume V.
  • O limite V\to 0 pega a taxa líquida por unidade de volume no próprio ponto.
Interpretação de sinais:
  • Se \nabla\cdot\mathbf{v}>0 então há fluxo líquido saindo do ponto — chamamos de fonte (material “sai” do ponto).
  • Se \nabla\cdot\mathbf{v}<0 então há fluxo líquido entrando no ponto — chamamos de sumidouro (material “entra”/converge para o ponto).
  • Se \nabla\cdot\mathbf{v}=0 não há ganho nem perda líquida de fluido no ponto (por unidade de volume).

Passo 3

Aplicando a definição ao furo do balão:
  • Considere um volume pequeno V centrado no ponto do furo (por exemplo uma esfera muito pequena).
  • A normal \mathbf{n} em cada ponto da superfície \partial V aponta para fora do volume.
  • Pelo enunciado, o ar está entrando no balão através do furo; portanto, nas partes da superfície onde o ar se aproxima do furo o campo de velocidade \mathbf{v} tem direção dirigida para dentro do volume (isto é, oposta à normal \mathbf{n}). Nesses pontos \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0.
  • Intuitivamente, a contribuição total \oint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS será negativa porque há mais fluxo entrando no volume (direcionado para o interior do balão) do que saindo.
  • Pela fórmula da definição do divergente, isto implica que, no limite V\to 0,
\nabla\cdot\mathbf{v}=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS < 0.

Passo 4

Interpretação física e observação prática (tomando cuidado com detalhes):
  • O sinal negativo de \nabla\cdot\mathbf{v} indica que, naquele ponto, o fluxo converge — mais fluido entra na vizinhança do ponto do que sai. É o mesmo comportamento de um ralo onde a água vai em direção ao ponto.
  • Observação sobre modelos: em fluidos incompressíveis e sem fontes/sumidouros reais, geralmente \nabla\cdot\mathbf{v}=0 em regiões internas; aqui o furo e o movimento associado criam uma região onde, visto localmente, há convergência do campo de velocidades (comportamento equivalente a um sumidouro local do ponto de vista do campo de velocidades).

Passo 5

Resumo do raciocínio: como o ar no entorno do furo está dirigido para dentro do balão, a contribuição do fluxo através de uma superfície pequena ao redor do furo é negativa, logo \nabla\cdot\mathbf{v}<0 naquele ponto.

Resposta

Sumidouro: \nabla\cdot\mathbf{v}<0.

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