Considere o campo de velocidades
de um fluido em movimento. Com base no sinal do divergente (
) em um ponto específico, classifique as situações abaixo como é uma fonte ou é um sumidouro. Justifique:
Um balão de festa que está sendo inflado através de um pequeno furo (considerando o ponto do furo sob a perspectiva do ar que entra no balão):
Um balão de festa que está sendo inflado através de um pequeno furo (considerando o ponto do furo sob a perspectiva do ar que entra no balão):
Passo 1
O que o enunciado pede: classificar, pelo sinal do divergente
num ponto específico (o ponto do furo), se a situação é uma fonte ou um sumidouro e justificar.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Há ar fluindo através de um pequeno furo para dentro do balão; ou seja, no entorno imediato do ponto do furo o campo de velocidades
aponta, em média, no sentido de entrada para dentro do balão. - A pergunta é sobre o ponto do furo “sob a perspectiva do ar que entra no balão” — isto é, estamos analisando o fluxo que converge para esse ponto e passa para o interior do balão.
Passo 2
Definição e significado físico do divergente:
Explicando cada símbolo:
-
é o divergente do campo de velocidades no ponto em questão. -
é um volume pequeno que contém o ponto; é a superfície que delimita esse volume. -
é o vetor normal externo à superfície . -
é a componente normal da velocidade através da superfície; é o fluxo líquido (taxa volumétrica) que sai do volume . - O limite
pega a taxa líquida por unidade de volume no próprio ponto.
Interpretação de sinais:
- Se
então há fluxo líquido saindo do ponto — chamamos de fonte (material “sai” do ponto). - Se
então há fluxo líquido entrando no ponto — chamamos de sumidouro (material “entra”/converge para o ponto). - Se
não há ganho nem perda líquida de fluido no ponto (por unidade de volume).
Passo 3
Aplicando a definição ao furo do balão:
- Considere um volume pequeno
centrado no ponto do furo (por exemplo uma esfera muito pequena). - A normal
em cada ponto da superfície aponta para fora do volume. - Pelo enunciado, o ar está entrando no balão através do furo; portanto, nas partes da superfície onde o ar se aproxima do furo o campo de velocidade
tem direção dirigida para dentro do volume (isto é, oposta à normal ). Nesses pontos . - Intuitivamente, a contribuição total
será negativa porque há mais fluxo entrando no volume (direcionado para o interior do balão) do que saindo. - Pela fórmula da definição do divergente, isto implica que, no limite
,
Passo 4
Interpretação física e observação prática (tomando cuidado com detalhes):
- O sinal negativo de
indica que, naquele ponto, o fluxo converge — mais fluido entra na vizinhança do ponto do que sai. É o mesmo comportamento de um ralo onde a água vai em direção ao ponto. - Observação sobre modelos: em fluidos incompressíveis e sem fontes/sumidouros reais, geralmente
em regiões internas; aqui o furo e o movimento associado criam uma região onde, visto localmente, há convergência do campo de velocidades (comportamento equivalente a um sumidouro local do ponto de vista do campo de velocidades).
Passo 5
Resumo do raciocínio: como o ar no entorno do furo está dirigido para dentro do balão, a contribuição do fluxo através de uma superfície pequena ao redor do furo é negativa, logo
naquele ponto.
Resposta
Sumidouro:
.