Calcule o divergente de \mathbf{F}(x, y, z)=\sin (x) \mathbf{i}+\cos (y) \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=\sin(x)\,\mathbf{i}+\cos(y)\,\mathbf{j}+z^{3}\,\mathbf{k}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O campo tem componentes F_{1}(x,y,z)=\sin(x), F_{2}(x,y,z)=\cos(y) e F_{3}(x,y,z)=z^{3}.
  • A pergunta é: qual é o escalar \nabla\cdot\mathbf{F} (o divergente) desse campo?

Passo 2

Definição e ideia prática: para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) as componentes dependendo de (x,y,z), o divergente é definido como
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
Explicando devagar: \frac{\partial F_{1}}{\partial x} é a taxa de variação de F_{1} quando só x muda (fixando y,z); somando as três derivadas parciais obtemos a taxa líquida de “saída” do campo por unidade de volume (intuição física: fluxo gerado por um ponto).

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente, lembrando as regras básicas de derivação:
  • Regra: \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • Regra: \dfrac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y).
  • Regra: \dfrac{d}{dz}z^{3}=3z^{2}.
Aplicando ao nosso campo:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sin(x)=\cos(x),
\frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\cos(y)=-\sin(y),
\frac{\partial F_{3}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}z^{3}=3z^{2}.

Passo 4

Agora somamos as três derivadas parciais conforme a definição:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\cos(x)+\bigl(-\sin(y)\bigr)+3z^{2}.
Ordenando de forma bonita:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\cos(x)-\sin(y)+3z^{2}.
Breve comentário intuitivo: a parte \cos(x) vem do fluxo associado à componente em x, -\sin(y) indica que a componente em y tende a convergir quando \sin(y)>0, e 3z^{2} é sempre não negativa, indicando saída crescente ao longo de z.

Resposta

\cos(x)-\sin(y)+3z^{2}

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