Calcule o divergente de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial
.
Informações dadas que vamos usar:
- O campo tem componentes
, e . - A pergunta é: qual é o escalar
(o divergente) desse campo?
Passo 2
Definição e ideia prática: para um campo vetorial
as componentes dependendo de
, o divergente é definido como
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
quando só
muda (fixando
); somando as três derivadas parciais obtemos a taxa líquida de “saída” do campo por unidade de volume (intuição física: fluxo gerado por um ponto).
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente, lembrando as regras básicas de derivação:
- Regra:
. - Regra:
. - Regra:
.
Aplicando ao nosso campo:
Passo 4
Agora somamos as três derivadas parciais conforme a definição:
Ordenando de forma bonita:
Breve comentário intuitivo: a parte
vem do fluxo associado à componente em
,
indica que a componente em
tende a convergir quando
, e
é sempre não negativa, indicando saída crescente ao longo de
.