Considere o campo de velocidades
de um fluido em movimento. Com base no sinal do divergente (
) em um ponto específico, classifique as situações abaixo como é uma fonte ou é um sumidouro. Justifique:
O ralo de uma pia de cozinha por onde a água escoa após a lavagem da louça:
O ralo de uma pia de cozinha por onde a água escoa após a lavagem da louça:
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique, com justificativa, se o ralo de uma pia (por onde a água escoa) corresponde a uma fonte ou a um sumidouro, com base no sinal do divergente em um ponto específico. Informação dada: há água correndo em direção ao ralo e sendo retirada pelo ralo.
Passo 2
O que é o divergente e como interpretá‑lo fisicamente?
Definição matemática (componente por componente):
onde
é o campo de velocidades; cada
é a taxa de variação da componente
na direção
.
Intuição física (fórmula limite / fluxo por volume):
onde
é a superfície do pequeno volume
centrado em
e
é o vetor normal externo à superfície. Isso diz: o divergente em um ponto é a taxa líquida de volume que sai por unidade de volume daquele ponto.
Interpretação do sinal:
- Se
em um ponto, há mais fluido saindo do que entrando no volume infinitesimal → esse ponto age como uma fonte (gera fluido). - Se
em um ponto, há mais fluido entrando do que saindo → esse ponto age como um sumidouro (absorve/retira fluido). - Se
, não há ganho nem perda líquida naquele ponto (campo solenoidal).
Passo 3
Aplicando a ideia ao ralo: descrição física do campo de velocidades
Perto do ralo, as linhas de corrente apontam em direção ao ralo (a água converge para o ralo). Tome um pequeno volume
que contenha o orifício do ralo ou que esteja bastante próximo dele. Na superfície externa desse volume os vetores velocidade apontam predominantemente para dentro, isto é,
é negativo quase em toda a superfície (lembre que
aponta para fora do volume). Assim o fluxo de superfície
é negativo, indicando que mais fluido está entrando no volume do que saindo.
Passo 4
Consequência pela definição do divergente
Pela fórmula do passo 2, dividindo o fluxo pelo volume e fazendo
, obtemos um valor negativo para
no ponto do ralo (ou uma contribuição negativa concentrada lá). Em linguagem física: o ralo retira massa/volume do fluido — comportamento de sumidouro — logo o divergente associado é negativo (ou contém um termo distribucional negativo se modelado como um ponto ideal).
Passo 5
Observação sobre incompressibilidade e singularidade (importante para provas)
Para um fluido incompressível sem retirada/adição de massa local, vale
em pontos onde não há entrada/saída de massa. Entretanto, o ralo efetivamente remove massa do sistema; modelado idealmente como um ponto onde a água sai, a divergência do campo pode ser zero em todos os pontos do líquido exceto no próprio ralo, onde aparece uma contribuição negativa concentrada (matematicamente uma distribuição tipo
). Se for pedido raciocínio prático e local (perto do ralo), a resposta operacional é que o ralo se comporta como um sumidouro com divergente negativo.
Passo 6
Resumo em palavras simples e incentivo
Resumindo: como a água converge e é retirada pelo ralo, há fluxo líquido entrando em volumes que contêm o ralo; portanto o divergente tem sinal negativo ali — é um sumidouro. Boa! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: pensar em um pequeno volume, olhar o sinal do fluxo pela superfície e concluir pelo sinal do divergente.
Resposta
Sumidouro