Considere o campo de velocidades \mathbf{v} de um fluido em movimento. Com base no sinal do divergente ( \nabla \cdot \mathbf{v} ) em um ponto específico, classifique as situações abaixo como é uma fonte ou é um sumidouro. Justifique:
O ralo de uma pia de cozinha por onde a água escoa após a lavagem da louça:

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique, com justificativa, se o ralo de uma pia (por onde a água escoa) corresponde a uma fonte ou a um sumidouro, com base no sinal do divergente em um ponto específico. Informação dada: há água correndo em direção ao ralo e sendo retirada pelo ralo.

Passo 2

O que é o divergente e como interpretá‑lo fisicamente?
Definição matemática (componente por componente):
\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z},
onde \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é o campo de velocidades; cada \partial v_i/\partial x_j é a taxa de variação da componente v_i na direção x_j.
Intuição física (fórmula limite / fluxo por volume):
\nabla\cdot\mathbf{v}(\mathbf{x}_0)=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \partial V é a superfície do pequeno volume V centrado em \mathbf{x}_0 e \mathbf{n} é o vetor normal externo à superfície. Isso diz: o divergente em um ponto é a taxa líquida de volume que sai por unidade de volume daquele ponto.
Interpretação do sinal:
  • Se \nabla\cdot\mathbf{v}>0 em um ponto, há mais fluido saindo do que entrando no volume infinitesimal → esse ponto age como uma fonte (gera fluido).
  • Se \nabla\cdot\mathbf{v}<0 em um ponto, há mais fluido entrando do que saindo → esse ponto age como um sumidouro (absorve/retira fluido).
  • Se \nabla\cdot\mathbf{v}=0, não há ganho nem perda líquida naquele ponto (campo solenoidal).

Passo 3

Aplicando a ideia ao ralo: descrição física do campo de velocidades
Perto do ralo, as linhas de corrente apontam em direção ao ralo (a água converge para o ralo). Tome um pequeno volume V que contenha o orifício do ralo ou que esteja bastante próximo dele. Na superfície externa desse volume os vetores velocidade apontam predominantemente para dentro, isto é, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é negativo quase em toda a superfície (lembre que \mathbf{n} aponta para fora do volume). Assim o fluxo de superfície
\oint_{\partial V}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS
é negativo, indicando que mais fluido está entrando no volume do que saindo.

Passo 4

Consequência pela definição do divergente
Pela fórmula do passo 2, dividindo o fluxo pelo volume e fazendo V\to 0, obtemos um valor negativo para \nabla\cdot\mathbf{v} no ponto do ralo (ou uma contribuição negativa concentrada lá). Em linguagem física: o ralo retira massa/volume do fluido — comportamento de sumidouro — logo o divergente associado é negativo (ou contém um termo distribucional negativo se modelado como um ponto ideal).

Passo 5

Observação sobre incompressibilidade e singularidade (importante para provas)
Para um fluido incompressível sem retirada/adição de massa local, vale \nabla\cdot\mathbf{v}=0 em pontos onde não há entrada/saída de massa. Entretanto, o ralo efetivamente remove massa do sistema; modelado idealmente como um ponto onde a água sai, a divergência do campo pode ser zero em todos os pontos do líquido exceto no próprio ralo, onde aparece uma contribuição negativa concentrada (matematicamente uma distribuição tipo -Q\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)). Se for pedido raciocínio prático e local (perto do ralo), a resposta operacional é que o ralo se comporta como um sumidouro com divergente negativo.

Passo 6

Resumo em palavras simples e incentivo
Resumindo: como a água converge e é retirada pelo ralo, há fluxo líquido entrando em volumes que contêm o ralo; portanto o divergente tem sinal negativo ali — é um sumidouro. Boa! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: pensar em um pequeno volume, olhar o sinal do fluxo pela superfície e concluir pelo sinal do divergente.

Resposta

Sumidouro

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