Considere o campo de velocidades
de um fluido em movimento. Com base no sinal do divergente (
) em um ponto específico, classifique as situações abaixo como é uma fonte ou é um sumidouro. Justifique:
Uma mangueira de jardim aberta, de onde a água emerge para o ambiente. Analisando o ponto exato da saída da água:
Uma mangueira de jardim aberta, de onde a água emerge para o ambiente. Analisando o ponto exato da saída da água:
Passo 1
O enunciado pede: classificar, com base no sinal do divergente
num ponto específico, se a situação é uma fonte ou um sumidouro. Informação dada relevante:
- Há uma mangueira de jardim aberta e a água emerge dela para o ambiente.
- O ponto de interesse é o ponto exato da saída da água (a boceta/boquilha, onde o jato passa do interior da mangueira para o exterior).
A pergunta concreta: no ponto exato da saída, o sinal deindica fonte ou sumidouro?
Passo 2
O que é o divergente e como ele indica fonte ou sumidouro (aula curta e prática).
- Definição matemática (fórmula):
onde
é o campo de velocidades e
significa a derivada parcial da componente
em relação a
, etc.
- Interpretação física (essencial): o divergente mede a taxa de variação do fluxo volumétrico que sai de um volume infinitesimal por unidade de volume. Formalmente:
onde
é um volume pequeno com superfície
e
a normal exterior. Portanto:
- Se
no ponto, há mais fluido saindo do pequeno volume do que entrando → comportamento de fonte (gera fluxo para fora). - Se
no ponto, há mais fluido entrando no volume do que saindo → comportamento de sumidouro. - Se
, não há ganho líquido de volume naquele ponto (por exemplo, fluxo incompressível e preservado localmente).
Passo 3
Aplicando a interpretação ao caso da mangueira: pensamento com controle de volume.
- Imagine um volume muito pequeno que contenha o ponto exato da saída: parte desse volume está dentro da mangueira (onde o fluido se move para fora) e parte está no ambiente externo.
- Pelo que acontece fisicamente, por essa pequena superfície em torno do ponto sai um jato de água: há um fluxo líquido saindo do volume em direção ao exterior (mais fluxo saindo do que entrando através da superfície).
- Usando a interpretação do passo anterior, isso significa que o fluxo total através da superfície
é positivo quando o volume é pequeno o suficiente. - Logo, o quociente pelo volume tende a um valor positivo:
naquele ponto.
Passo 4
Exemplos simples para fixar a ideia (dois mini-exemplos didáticos).
- Exemplo 1 (expansão uniforme): o campo
(onde é o vetor posição e constante) tem divergente
Se
o campo “explode” para fora (fonte), se
comprime para dentro (sumidouro). Isso ilustra que sinais positivos correspondem a saída líquida.
- Exemplo 2 (jato pontual idealizado): um campo radial com fluxo total
,
tem fluxo através de uma esfera de raio
igual a
. Para
o divergente clássico é zero (campo sem densidade volumétrica antiga), mas no ponto
comporta-se como uma fonte pontual matemática com divergente representado por
. Isso mostra que jatos/nozzles podem ser modelados como fontes localizadas (singularidades) do campo de velocidade. A analogia com a mangueira: o bocal é uma região onde se concentra a saída de volume.
Passo 5
Caveats importantes (para a prova e para não emaranhar idéias):
- Se o fluido for incompressível e o campo
for suave numa região que não inclua o interior da mangueira como “entrada” de massa, então nessa região. Porém, o ponto exato da saída é uma fronteira/ligação entre dois regimes (interior da mangueira e exterior) e pode comportar-se como uma fonte efetiva para o campo externo — matematicamente aparece como um termo singular ou condição de contorno que gera fluxo para fora. - Em linguagem prática de prova: para classificar “fonte” vs “sumidouro” observe o sinal do fluxo líquido em volta do ponto. No bico da mangueira há saída líquida → classificamos como fonte (positiva).
Passo 6
Resposta concisa e motivação final (resuma para decorar na prova).
- No ponto exato da saída da água existe um escoamento líquido saindo do ponto para o exterior. Isso corresponde a fluxo líquido positivo através de uma superfície infinitesimal ao redor do ponto, ou seja
. - Portanto, conforme a definição baseada no sinal do divergente, esse ponto é uma fonte.
Resposta
Fonte: