Considere o campo de velocidades \mathbf{v} de um fluido em movimento. Com base no sinal do divergente ( \nabla \cdot \mathbf{v} ) em um ponto específico, classifique as situações abaixo como é uma fonte ou é um sumidouro. Justifique:
Uma mangueira de jardim aberta, de onde a água emerge para o ambiente. Analisando o ponto exato da saída da água:

Passo 1

O enunciado pede: classificar, com base no sinal do divergente \nabla\cdot\mathbf v num ponto específico, se a situação é uma fonte ou um sumidouro. Informação dada relevante:
  • Há uma mangueira de jardim aberta e a água emerge dela para o ambiente.
  • O ponto de interesse é o ponto exato da saída da água (a boceta/boquilha, onde o jato passa do interior da mangueira para o exterior).
    A pergunta concreta: no ponto exato da saída, o sinal de \nabla\cdot\mathbf v indica fonte ou sumidouro?

Passo 2

O que é o divergente e como ele indica fonte ou sumidouro (aula curta e prática).
  • Definição matemática (fórmula):
\nabla\cdot\mathbf v=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z},
onde \mathbf v=(v_x,v_y,v_z) é o campo de velocidades e \partial v_x/\partial x significa a derivada parcial da componente v_x em relação a x, etc.
  • Interpretação física (essencial): o divergente mede a taxa de variação do fluxo volumétrico que sai de um volume infinitesimal por unidade de volume. Formalmente:
\nabla\cdot\mathbf v=\lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{\partial V}\mathbf v\cdot\mathbf n\,dS,
onde V é um volume pequeno com superfície \partial V e \mathbf n a normal exterior. Portanto:
  • Se \nabla\cdot\mathbf v>0 no ponto, há mais fluido saindo do pequeno volume do que entrando → comportamento de fonte (gera fluxo para fora).
  • Se \nabla\cdot\mathbf v<0 no ponto, há mais fluido entrando no volume do que saindo → comportamento de sumidouro.
  • Se \nabla\cdot\mathbf v=0, não há ganho líquido de volume naquele ponto (por exemplo, fluxo incompressível e preservado localmente).

Passo 3

Aplicando a interpretação ao caso da mangueira: pensamento com controle de volume.
  • Imagine um volume muito pequeno que contenha o ponto exato da saída: parte desse volume está dentro da mangueira (onde o fluido se move para fora) e parte está no ambiente externo.
  • Pelo que acontece fisicamente, por essa pequena superfície em torno do ponto sai um jato de água: há um fluxo líquido saindo do volume em direção ao exterior (mais fluxo saindo do que entrando através da superfície).
  • Usando a interpretação do passo anterior, isso significa que o fluxo total através da superfície \oint_{\partial V}\mathbf v\cdot\mathbf n\,dS é positivo quando o volume é pequeno o suficiente.
  • Logo, o quociente pelo volume tende a um valor positivo: \nabla\cdot\mathbf v>0 naquele ponto.

Passo 4

Exemplos simples para fixar a ideia (dois mini-exemplos didáticos).
  • Exemplo 1 (expansão uniforme): o campo \mathbf v=\alpha \mathbf r (onde \mathbf r é o vetor posição e \alpha constante) tem divergente
\nabla\cdot\mathbf v=3\alpha.
Se \alpha>0 o campo “explode” para fora (fonte), se \alpha<0 comprime para dentro (sumidouro). Isso ilustra que sinais positivos correspondem a saída líquida.
  • Exemplo 2 (jato pontual idealizado): um campo radial com fluxo total Q,
\mathbf v(\mathbf r)=\frac{Q}{4\pi r^2}\,\hat r,
tem fluxo através de uma esfera de raio r igual a Q. Para r>0 o divergente clássico é zero (campo sem densidade volumétrica antiga), mas no ponto r=0 comporta-se como uma fonte pontual matemática com divergente representado por Q\delta(\mathbf r). Isso mostra que jatos/nozzles podem ser modelados como fontes localizadas (singularidades) do campo de velocidade. A analogia com a mangueira: o bocal é uma região onde se concentra a saída de volume.

Passo 5

Caveats importantes (para a prova e para não emaranhar idéias):
  • Se o fluido for incompressível e o campo \mathbf v for suave numa região que não inclua o interior da mangueira como “entrada” de massa, então \nabla\cdot\mathbf v=0 nessa região. Porém, o ponto exato da saída é uma fronteira/ligação entre dois regimes (interior da mangueira e exterior) e pode comportar-se como uma fonte efetiva para o campo externo — matematicamente aparece como um termo singular ou condição de contorno que gera fluxo para fora.
  • Em linguagem prática de prova: para classificar “fonte” vs “sumidouro” observe o sinal do fluxo líquido em volta do ponto. No bico da mangueira há saída líquida → classificamos como fonte (positiva).

Passo 6

Resposta concisa e motivação final (resuma para decorar na prova).
  • No ponto exato da saída da água existe um escoamento líquido saindo do ponto para o exterior. Isso corresponde a fluxo líquido positivo através de uma superfície infinitesimal ao redor do ponto, ou seja \nabla\cdot\mathbf v>0.
  • Portanto, conforme a definição baseada no sinal do divergente, esse ponto é uma fonte.

Resposta

Fonte: \nabla\cdot\mathbf v>0

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