Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule a integral de linha de
ao longo da curva dada pela interseção do paraboloide
com o plano
, com
.
(b) Calcule a integral de linha de
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de
ao longo da curva
dada pela interseção do paraboloide
com o plano
restringido a
.
Conteúdo: mostraremos que é um campo conservativo (isto é, tem potencial escalar), encontraremos esse potencial e usaremos a independência de caminho para calcular a integral apenas pelos valores nos pontos finais de
.
Conteúdo: mostraremos que
Passo 2
Verificamos que o rotacional de
é nulo em todo
. Denotando
:
Logo
, então
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em
, obtendo
Depois impomos
para achar
, de onde
. Ainda
implica
. Assim escolhemos
Passo 4
A curva
fica no plano
com
, de modo que os extremos em
são
Passo 5
Como
é conservativo,
Em ambos os pontos
cai o termo
, sobrando
. Logo