Considere o campo vetorial 
 .
(b) Calcule a integral de linha de 
  ao longo da curva dada pela interseção do paraboloide 
  com o plano 
 , com 
 .
(b) Calcule a integral de linha de
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha de 
  ao longo da curva 
  dada pela interseção do paraboloide 
  com o plano 
  restringido a 
 .
Conteúdo: mostraremos que  é um campo conservativo (isto é, tem potencial escalar), encontraremos esse potencial e usaremos a independência de caminho para calcular a integral apenas pelos valores nos pontos finais de 
 .
Conteúdo: mostraremos que
Passo 2
Verificamos que o rotacional de 
  é nulo em todo 
 . Denotando 
 :
Logo 
 , então 
  é conservativo.
Passo 3
Procuramos 
  tal que 
 . Integramos
em 
 , obtendo
Depois impomos
para achar 
 , de onde 
 . Ainda
implica 
 . Assim escolhemos
Passo 4
A curva 
  fica no plano 
  com 
 , de modo que os extremos em 
  são
Passo 5
Como 
  é conservativo,
Em ambos os pontos 
  cai o termo 
 , sobrando 
 . Logo