Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x y z+1, x^2 z+z, x^2 y+y).
(b) Calcule a integral de linha de F ao longo da curva dada pela interseção do paraboloide z=4-x^2-y^2 com o plano x-y=0, com z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de F(x,y,z)=(2xyz+1,;x^2z+z,;x^2y+y) ao longo da curva C dada pela interseção do paraboloide z=4-x^2-y^2 com o plano x-y=0 restringido a z>=0.
Conteúdo: mostraremos que F é um campo conservativo (isto é, tem potencial escalar), encontraremos esse potencial e usaremos a independência de caminho para calcular a integral apenas pelos valores nos pontos finais de C.

Passo 2

Verificamos que o rotacional de F é nulo em todo R^3. Denotando F=(P,Q,R):
partial Ppartial y=2xz, partial Qpartial x=2xz,
partial Ppartial z=2xy, partial Rpartial x=2xy,
partial Qpartial z=x^2+1, partial Rpartial y=x^2+1
Logo nablatimesF=(0,0,0), então F é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi(x,y,z) tal que nablaphi=F. Integramos
partialphipartial x=2xyz+1
em x, obtendo
phi(x,y,z)=x^2yz+x+g(y,z)
Depois impomos
partialphipartial y=x^2z+partial gpartial y=x^2z+z
para achar partial g/partial y=z, de onde g(y,z)=yz+h(z). Ainda
partialphipartial z=x^2y+y+h'(z)=x^2y+y
implica h'(z)=0. Assim escolhemos
phi(x,y,z)=x^2yz+yz+x

Passo 4

A curva C fica no plano y=x com z=4-2x^2>=0, de modo que os extremos em z=0 são
A=(-raiz2,-raiz2,0), B=(raiz2,raiz2,0)

Passo 5

Como F é conservativo,
integralCFcdot dvec r =phi(B)-phi(A)
Em ambos os pontos z=0 cai o termo xyz, sobrando phi(x,x,0)=x. Logo
phi(B)=raiz2, phi(A)=-raiz2,
integralCFcdot dvec r =raiz2-(-raiz2) =2raiz2

Resposta

2raiz2

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