Considere o campo de vetores
e a superfície parametrizada
dada por
restrita a
.
Calcule o trabalho de
na curva fechada
.
Calcule o trabalho de
Passo 1
A questão pede o trabalho (linha integral) de
ao longo da curva fechada
,
. Vamos usar o Teorema de Stokes sobre a superfície
para
, cuja fronteira é exatamente
. Precisaremos calcular o rotacional de
e depois a integral de superfície de
cruzado com o vetor normal.
Passo 2
Calcular o rotacional:
. Aqui
. Logo,
dá o primeiro componente
.
dá o segundo componente
.
dá o terceiro componente
. Portanto
Passo 3
Parametrização de
. O vetor normal orientado para cima (regra da mão direita alinhada ao sentido CCW de
) satisfaz
Passo 4
Calculamos o integrando
Passo 5
A integral sobre o disco
é
Resposta
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