Considere o campo de vetores F(x, y, z)=y^2 i-z j+(x+y) k e a superfície parametrizada sigma dada por sigma(u, v)=(u, v, 2-u^2-v^2) restrita a u^2+v^2 <= 1.
Calcule o trabalho de F na curva fechada Gamma(t)=(cos t, sen t, 1), t in[0,2 pi].

Passo 1

A questão pede o trabalho (linha integral) de vec F(x,y,z)=y^2,vec i - z,vec j + (x+y),vec k ao longo da curva fechada Gamma(t)=(cos t,,sin t,,1), tin[0,2pi]. Vamos usar o Teorema de Stokes sobre a superfície sigma(u,v)=(u,v,2-u^2-v^2) para u^2+v^2<=1, cuja fronteira é exatamente Gamma. Precisaremos calcular o rotacional de vec F e depois a integral de superfície de nablatimesvec F cruzado com o vetor normal.

Passo 2

Calcular o rotacional: nablatimesvec F=(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Py). Aqui P=y^2,;Q=-z,;R=x+y. Logo,
Ry=1, Qz=-1 dá o primeiro componente 1-(-1)=2.
Pz=0, Rx=1 dá o segundo componente 0-1=-1.
Qx=0, Py=2y dá o terceiro componente 0-2y=-2y. Portanto
nablatimesvec F=(2,,-1,,-2y)

Passo 3

Parametrização de sigma(u,v)=(u,v,2-u^2-v^2). O vetor normal orientado para cima (regra da mão direita alinhada ao sentido CCW de Gamma) satisfaz
n,dS=(-sigmautimessigmav)+,du,dv=(-gx,,-gy,,1),du,dv, onde g(x,y)=2-x^2-y^2 tem gx=-2x,;gy=-2y. Assim
n,dS=(2x,,2y,,1),du,dv

Passo 4

Calculamos o integrando
(nablatimesvec F)cdot( n,dS)=(2,,-1,,-2y)cdot(2x,,2y,,1)=(4x-2y-2y) =4x-4y

Passo 5

A integral sobre o disco u^2+v^2<=1 é
integral duplau^2+v^2<=1(4u-4v),du,dv =4integral dupla u,du,dv -4integral dupla v,du,dv Por simetria, em um disco centrado na origem integral dupla u,du,dv=0 e integral dupla v,du,dv=0. Logo o valor da integral é zero.

Resposta

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