Considere o campo de vetores
e a superfície parametrizada
dada por
restrita a
.
Calcule o fluxo do rotacional de
através da superfície
na direção
normal a
com componente
.
Calcule o fluxo do rotacional de
Passo 1
A questão pede o fluxo de
através da superfície
com normal para cima (
). O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona fluxo de rotacional a circulação no contorno.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes temos
O contorno
é dado por
, ou seja, a curva
no plano
de raio 1.
Passo 3
Parametrizamos
de forma que, vista de cima, seja no sentido anti-horário (coerente com normal para cima):
e
Passo 4
Avaliamo
sobre
:
então em :
então em
O produto escalar é
Passo 5
Integramos de
a
:
Portanto, o fluxo pedido é zero.
Resposta
0