Considere o campo de vetores F(x, y, z)=y^2 i-z j+(x+y) k e a superfície parametrizada sigma dada por sigma(u, v)=(u, v, 2-u^2-v^2) restrita a u^2+v^2 <= 1.
Calcule o fluxo do rotacional de F através da superfície sigma na direção n normal a sigma com componente z >= 0.

Passo 1

A questão pede o fluxo de nabla times vec F através da superfície sigma(u,v)=(u,v,2-u^2-v^2) com normal para cima ( nz>=0). O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona fluxo de rotacional a circulação no contorno.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes temos
integral duplasigma(nablatimesvec F)cdotvec n,dS =ointpartialsigmavec Fcdot dvec r
O contorno partialsigma é dado por u^2+v^2=1, ou seja, a curva C no plano z=1 de raio 1.

Passo 3

Parametrizamos C de forma que, vista de cima, seja no sentido anti-horário (coerente com normal para cima):
vec r(theta)=(costheta,,sintheta,,1), 0<=theta<=2pi,
e
dvec r=(-sintheta,,costheta,,0),dtheta

Passo 4

Avaliamo vec F sobre C:
vec r(theta)
então em vec F(vec r(theta))=(sin^2theta, -1, costheta+sintheta) :
vec Fcdot dvec r =sin^2theta(-sintheta) +(-1)costheta +(costheta+sintheta)cdot0 =-sin^3theta-costheta
O produto escalar é

Passo 5

Integramos de 0 a 2pi:
ointCvec Fcdot dvec r =integral0^2pi(-sin^3theta-costheta),dtheta =0-0=0
Portanto, o fluxo pedido é zero.

Resposta

0

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